Matemáticas IIDifícil2 pts

Integrales

Comunidad de Madrid · 2026 · Julio (coincidentes)

Enunciado

(2 puntos) Para la función

f(x) = \operatorname{sen}\left(\pi\,|x^2 - 1|\right)

, calcule

\int_0^2 x f(x)\,dx.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\int_0^2 x f(x)\,dx = \frac{2}{\pi} \approx 0{,}6366}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El valor absoluto obliga a partir la integral donde cambia de signo lo de dentro:

x^2 - 1

es negativo en

[0, 1)

y positivo en

(1, 2]

. Así

f

se escribe a trozos sin valor absoluto y la integral se divide en dos.

Cada trozo es del tipo

x\operatorname{sen}(\pi(x^2 - 1))

: la

x

que acompaña es, salvo una constante, la derivada de

x^2

, así que son casi inmediatas (o se resuelven con el cambio

u = x^2 - 1

). Después, la regla de Barrow.

Desarrollo

La función a trozos. Como

|x^2 - 1| = 1 - x^2

0 \le x \le 1

|x^2 - 1| = x^2 - 1

1 \le x \le 2

f(x) = \begin{cases} \operatorname{sen}\left(\pi(1 - x^2)\right) & \text{si } 0 \le x \le 1 \\[4pt] \operatorname{sen}\left(\pi(x^2 - 1)\right) & \text{si } 1 \le x \le 2 \end{cases}

y la integral se parte en dos:

\int_0^2 x f(x)\,dx = \int_0^1 x\operatorname{sen}\left(\pi(1 - x^2)\right) dx + \int_1^2 x\operatorname{sen}\left(\pi(x^2 - 1)\right) dx.

Primitivas. La derivada de

\pi(1 - x^2)

-2\pi x

y la de

\pi(x^2 - 1)

2\pi x

, así que

\int x\operatorname{sen}\left(\pi(1 - x^2)\right) dx = \frac{1}{2\pi}\cos\left(\pi(1 - x^2)\right) + C,

\int x\operatorname{sen}\left(\pi(x^2 - 1)\right) dx = -\frac{1}{2\pi}\cos\left(\pi(x^2 - 1)\right) + C.

(Se comprueban derivando: por ejemplo,

\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2\pi}\cos(\pi(1 - x^2))\right] = \frac{1}{2\pi}\cdot\left(-\operatorname{sen}(\pi(1 - x^2))\right)\cdot(-2\pi x) = x\operatorname{sen}(\pi(1 - x^2))

.)

Regla de Barrow.

\int_0^1 x\operatorname{sen}\left(\pi(1 - x^2)\right) dx = \left[\frac{1}{2\pi}\cos\left(\pi(1 - x^2)\right)\right]_0^1 = \frac{1}{2\pi}\left(\cos 0 - \cos\pi\right) = \frac{1}{2\pi}(1 + 1) = \frac{1}{\pi},

\int_1^2 x\operatorname{sen}\left(\pi(x^2 - 1)\right) dx = \left[-\frac{1}{2\pi}\cos\left(\pi(x^2 - 1)\right)\right]_1^2 = -\frac{1}{2\pi}\left(\cos 3\pi - \cos 0\right) = -\frac{1}{2\pi}(-1 - 1) = \frac{1}{\pi}.

Resultado.

\int_0^2 x f(x)\,dx = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi} = \frac{2}{\pi} \approx 0{,}6366.

Comprobación con el cambio de variable. Con

u = x^2 - 1

du = 2x\,dx

, los límites pasan a

u = -1

u = 3

\int_0^2 x\operatorname{sen}\left(\pi|x^2 - 1|\right) dx = \frac{1}{2}\int_{-1}^{3} \operatorname{sen}(\pi|u|)\,du = \frac{1}{2}\left(\int_0^1 \operatorname{sen}(\pi u)\,du + \int_0^3 \operatorname{sen}(\pi u)\,du\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi}\right) = \frac{2}{\pi}\ ✓

Ojo: no es un área. En

[\sqrt 2, \sqrt 3]

el ángulo

\pi(x^2 - 1)

está entre

\pi

2\pi

, el seno es negativo y ese tramo resta; la integral es la suma de áreas con signo, como se ve en la simulación.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con un valor absoluto dentro de la integral, lo primero es buscar dónde se anula lo de dentro ( $x = 1$ ) y partir el intervalo: la corrección da $0{,}8$ puntos solo por escribir bien las dos integrales.

Al integrar $x\operatorname{sen}(\pi(x^2 - 1))$ falta un $2\pi$ para tener la derivada del ángulo: por eso aparece $\frac{1}{2\pi}$ . Comprueba la primitiva derivándola.