Matemáticas IIMedio2 pts

Límites y continuidad

Comunidad de Madrid · 2026 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Sea la función

f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{3x - a}

, donde

a

es un parámetro real.

a) (1 punto) Halle el valor de

a

para que la gráfica de

f(x)

presente una asíntota vertical en

x = 2

. Para dicho valor, estudie el resto de asíntotas de la gráfica.

b) (1 punto) Obtenga los valores de

a

para los cuales la gráfica de la función no presenta asíntotas verticales.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ a = 6;\ \text{A.V. } x = 2,\ \text{sin A.H.},\ \text{A.O. } y = \tfrac{1}{3}x + \tfrac{2}{3}}

\boxed{\text{b)}\ a = 3 \ \text{ o } \ a = -3}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En una función racional las asíntotas verticales están donde se anula el denominador y no el numerador. El denominador

3x - a

se anula en un solo punto,

x = \frac{a}{3}

.

En a) se impone que ese punto sea

x = 2

y se comprueba que el numerador no se anula allí. Para el resto: como el grado del numerador supera en uno al del denominador, no hay horizontal pero sí oblicua

y = mx + n

.

En b) se busca lo contrario: que el único cero del denominador sea también un cero del numerador (

x = 1

x = -1

), con lo que la discontinuidad pasa a ser evitable y desaparece la asíntota vertical.

Desarrollo

a) El denominador se anula en

x = 2

3\cdot 2 - a = 0

, es decir,

a = 6

. Con este valor el numerador vale

2^2 - 1 = 3 \neq 0

x = 2

, así que

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 1}{3x - 6} = \frac{3}{0} = \pm\infty \quad\Longrightarrow\quad x = 2 \text{ es asíntota vertical.}

Para

a = 6

f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{3x - 6}

Otras verticales: no hay, porque el denominador solo se anula en $x = 2$ .
Horizontales: $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 1}{3x - 6} = \pm\infty$ (el numerador tiene mayor grado). No hay.
Oblicua $y = mx + n$ :

m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 1}{3x^2 - 6x} = \frac{1}{3},

n = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^2 - 1}{3x - 6} - \frac{x}{3}\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 3 - 3x^2 + 6x}{3(3x - 6)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{6x - 3}{9x - 18} = \frac{2}{3}.

La asíntota oblicua (por los dos lados) es

y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}.

(Se puede comprobar dividiendo:

x^2 - 1 = (3x - 6)\left(\frac{x}{3} + \frac{2}{3}\right) + 3

.)

b) Para cualquier

a

, el denominador se anula solo en

x = \frac{a}{3}

. Si el numerador no se anula ahí, el límite es infinito y hay asíntota vertical. Para que no la haya,

\frac{a}{3}

tiene que ser raíz del numerador,

x^2 - 1 = 0

, es decir,

x = 1

x = -1

$\dfrac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$ : $\;f(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{3(x - 1)}$ y $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{3} = \frac{2}{3}$ , finito.
$\dfrac{a}{3} = -1 \Rightarrow a = -3$ : $\;f(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{3(x + 1)}$ y $\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{x - 1}{3} = -\frac{2}{3}$ , finito.

En los dos casos la discontinuidad es evitable (la gráfica es una recta con un agujero) y no hay asíntota vertical. Para cualquier otro valor de

a

sí la hay.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que el denominador se anule no basta para tener asíntota vertical: hay que comprobar que el numerador no se anula en el mismo punto. Eso es justo lo que pregunta b).

En la oblicua, al calcular $n = \lim\,(f(x) - mx)$ resta con denominador común y con cuidado de signos; la división polinómica es una buena comprobación.