Límites y continuidad

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

Como las tres funciones que definen $f$ son continuas en sus respectivos intervalos de definición, solo hay que imponer que $f$ sea continua en los puntos de contacto, $x = 0$ y $x = 2$. Tenemos$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} 5e^{2x} = 5,$$$$f(0) = 5e^{0} = 5,$$$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x+m)^2 + 1 = m^2 + 1.$$Por tanto, la función $f$ es continua en $x = 0$ si y solo si $m^2 + 1 = 5$, cosa que pasa si y solo si $m = \pm 2$. Por otra parte,$$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x+m)^2 + 1 = (2+m)^2 + 1,$$$$f(2) = 1,$$$$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} 1 = 1,$$y la función $f$ es continua en $x = 2$ si y solo si $(2+m)^2 + 1 = 1$, cosa que pasa si y solo si $m = -2$. Por tanto, la función es continua en todos los puntos solo cuando $m = -2$.

b)

La gráfica correspondiente es:

Para representar la función cuadrática se puede calcular el vértice con la fórmula $x = \dfrac{-b}{2a} = 2$ o bien observar que es una traslación 2 unidades a la derecha y una unidad hacia arriba de la parábola $y = x^2$.

Es claro, incluso sin la gráfica, que la función es positiva en todo su dominio. Por tanto, para calcular el área pedida hay que calcular la integral definida:$$A = \int_{-1}^{3} f(x)\,dx = \int_{-1}^{0} 5e^{2x}\,dx + \int_{0}^{2} \big((x-2)^2 + 1\big)\,dx + \int_{2}^{3} 1\,dx =$$$$= \left[\frac{5}{2}e^{2x}\right]_{-1}^{0} + \left[\frac{(x-2)^3}{3} + x\right]_{0}^{2} + [x]_{2}^{3} = \frac{5}{2} - \frac{5}{2e^2} + 2 + \frac{8}{3} + 3 - 2 \simeq 7{,}83\ u^2.$$c)

Como el primer tramo de la gráfica es creciente y el tercero es plano, solo puede haber puntos con pendiente negativa en el tramo del medio. Queremos un punto donde la pendiente sea $-2$, por tanto derivamos el tramo parabólico e igualamos la derivada a $-2$:$$2(x-2) = -2 \;\longrightarrow\; x = 1.$$La recta tangente en el punto $(1, f(1)) = (1, 2)$ es$$y - 2 = -2(x-1) \;\longrightarrow\; y = -2x + 4.$$Pautas de corrección:

a)

0,25 p. por justificar que ya es continua fuera de los puntos de contacto.

0,25 p. por estudiar cada uno de los dos contactos.

0,25 p. por combinarlo y dar la respuesta final correcta.

b)

0,25 p. por el esbozo de la gráfica.

0,25 p. por el planteamiento correcto del área como suma de integrales.

0,25 p. por el cálculo de la integral de la parte exponencial.

0,25 p. por la integral de la parte parabólica.

c)

0,25 p. por encontrar el punto.

0,25 p. por el cálculo de la ecuación de la recta tangente.