Límites y continuidad

Tipo de indeterminación. En $x = 0$:$$x^{2} - \operatorname{sen}(x^{2}) \to 0 - 0 = 0, \qquad 1 - \cos(x) \to 1 - 1 = 0$$Es $\frac{0}{0}$; las dos funciones son derivables cerca de $0$, así que aplicamos L'Hôpital.

Primera aplicación de L'Hôpital. Derivando por separado numerador y denominador (regla de la cadena en $\operatorname{sen}(x^{2})$):$$\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - \operatorname{sen}(x^{2})}{1 - \cos(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x - 2x\cos(x^{2})}{\operatorname{sen}(x)}$$En $x = 0$ vuelve a dar $\frac{0 - 0}{0}$: otra vez $\frac{0}{0}$.

Segunda aplicación de L'Hôpital. El numerador es $2x\bigl(1 - \cos(x^{2})\bigr)$; por la regla del producto,$$\frac{d}{dx}\Bigl[2x\bigl(1 - \cos(x^{2})\bigr)\Bigr] = 2\bigl(1 - \cos(x^{2})\bigr) + 2x\cdot 2x\operatorname{sen}(x^{2}) = 2 - 2\cos(x^{2}) + 4x^{2}\operatorname{sen}(x^{2})$$y la derivada de $\operatorname{sen}(x)$ es $\cos(x)$. Entonces$$\lim_{x \to 0} \frac{2 - 2\cos(x^{2}) + 4x^{2}\operatorname{sen}(x^{2})}{\cos(x)} = \frac{2 - 2 + 0}{1} = \frac{0}{1} = 0$$Ya no es indeterminación: el denominador tiende a $1$ y el numerador a $0$.

Otra forma de cerrar tras la primera aplicación. Separando factores,$$\frac{2x\bigl(1 - \cos(x^{2})\bigr)}{\operatorname{sen}(x)} = \frac{x}{\operatorname{sen}(x)}\cdot 2\bigl(1 - \cos(x^{2})\bigr) \;\longrightarrow\; 1\cdot 2(1 - 1) = 0$$Por qué sale $0$. Cerca de $0$, $x^{2} - \operatorname{sen}(x^{2}) \approx \frac{x^{6}}{6}$ mientras que $1 - \cos(x) \approx \frac{x^{2}}{2}$: el numerador se hace pequeño mucho más deprisa que el denominador. Por ejemplo, con $x = 0{,}01$ el cociente vale unos $3{,}3\cdot 10^{-9}$.