Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2026 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 4.1 (bloque con optatividad 2). Determina para qué valores de

a

el límite

\lim_{x\to 0} \frac{e^{-ax} - (1 - ax)\cos(2x)}{x^2}

vale

6

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lim_{x\to 0}\frac{e^{-ax} - (1 - ax)\cos(2x)}{x^2} = \frac{a^2 + 4}{2} = 6 \iff a = \pm 2\sqrt{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primero se sustituye

x = 0

para ver qué tipo de límite es: numerador y denominador se anulan, así que es una indeterminación $\frac{0}{0}$ sea cual sea

a

, y se puede aplicar la regla de L'Hôpital.

Tras derivar una vez vuelve a salir

\frac{0}{0}

(también para cualquier

a

), así que hay que aplicarla una segunda vez. Entonces el límite ya se puede calcular y queda una expresión en

a

; igualándola a

6

se obtiene una ecuación de segundo grado con dos soluciones.

Al derivar, ojo con el producto

(1 - ax)\cos(2x)

(regla del producto) y con la cadena en

e^{-ax}

y en

\cos(2x)

Desarrollo

Tipo de indeterminación. En

x = 0

e^{0} - (1 - 0)\cos 0 = 1 - 1 = 0, \qquad 0^2 = 0

Es una indeterminación

\frac{0}{0}

para todo

a

. Numerador y denominador son derivables, así que aplicamos L'Hôpital.

Primera aplicación de L'Hôpital. Derivamos el numerador

N(x) = e^{-ax} - (1 - ax)\cos(2x)

N'(x) = -a\,e^{-ax} - \Bigl[(-a)\cos(2x) + (1 - ax)\bigl(-2\,\text{sen}\,(2x)\bigr)\Bigr] = -a\,e^{-ax} + a\cos(2x) + 2(1 - ax)\,\text{sen}\,(2x)

y el denominador:

(x^2)' = 2x

. Entonces

\lim_{x\to 0} \frac{N(x)}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{-a\,e^{-ax} + a\cos(2x) + 2(1 - ax)\,\text{sen}\,(2x)}{2x}

x = 0

: numerador

-a + a + 2\cdot 1\cdot 0 = 0

y denominador

0

. Otra vez $\frac{0}{0}$ , para cualquier

a

.

Segunda aplicación de L'Hôpital. Derivamos de nuevo el numerador:

N''(x) = a^2 e^{-ax} - 2a\,\text{sen}\,(2x) + 2\Bigl[(-a)\,\text{sen}\,(2x) + (1 - ax)\cdot 2\cos(2x)\Bigr]

N''(x) = a^2 e^{-ax} - 4a\,\text{sen}\,(2x) + 4(1 - ax)\cos(2x)

y el denominador:

(2x)' = 2

. Ahora ya no hay indeterminación:

\lim_{x\to 0} \frac{N(x)}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{a^2 e^{-ax} - 4a\,\text{sen}\,(2x) + 4(1 - ax)\cos(2x)}{2} = \frac{a^2\cdot 1 - 0 + 4\cdot 1\cdot 1}{2} = \frac{a^2 + 4}{2}

Condición del enunciado.

\frac{a^2 + 4}{2} = 6 \;\Longrightarrow\; a^2 + 4 = 12 \;\Longrightarrow\; a^2 = 8 \;\Longrightarrow\; a = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}

El límite vale

6

para

a = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83

y para

a = -2\sqrt{2} \approx -2{,}83

.

(Comprobación con desarrollos de Taylor: $e^{-ax} \approx 1 - ax + \frac{a^2x^2}{2}$ y $(1 - ax)\cos(2x) \approx (1 - ax)(1 - 2x^2) \approx 1 - ax - 2x^2$ ; la diferencia es $\left(\frac{a^2}{2} + 2\right)x^2$ , y el límite, $\frac{a^2}{2} + 2 = \frac{a^2 + 4}{2}$ ✓.)

La gráfica de la función para

a = 2\sqrt{2}

se acerca a

6

cuando

x \to 0

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Consejo

La corrección reparte así: 0,25 por identificar la indeterminación $\frac{0}{0}$ y 0,75 por cada aplicación de L'Hôpital. Antes de la segunda, escribe que sigue siendo $\frac{0}{0}$ : aplicar la regla sin comprobarlo no es correcto.

El fallo típico es derivar mal $(1 - ax)\cos(2x)$ : es un producto y $\cos(2x)$ lleva la regla de la cadena ( $-2\,\text{sen}\,(2x)$ ). Y no te olvides de la solución negativa: $a^2 = 8$ da dos valores.