Límites y continuidad

a) Asíntotas verticales. En el primer trozo, $(4 + x^2)^2 \geq 16 > 0$, y en el segundo, $(1 + e^x)^2 > 1$: ningún denominador se anula, así que cada trozo es continuo en su intervalo. Solo queda mirar el punto de unión:$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{4\cdot 1}{4^2} = \frac{1}{4}, \qquad \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = \frac{1}{(1+1)^2} + 0 = \frac{1}{4}$$Los límites son finitos (de hecho $f$ es continua en $x = 0$): no hay asíntotas verticales.

Asíntotas en $-\infty$ (primer trozo). El numerador es de grado 1 y el denominador, $(4 + x^2)^2 = x^4 + 8x^2 + 16$, de grado 4:$$\lim_{x \to -\infty} \frac{4(x+1)}{(4+x^2)^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{4x}{x^4} = 0$$La recta $y = 0$ es asíntota horizontal en $-\infty$. Como para $x < -1$ el numerador es negativo y el denominador positivo, la gráfica se acerca a ella por debajo. Al haber horizontal en $-\infty$, no hay oblicua por ese lado.

Asíntotas en $+\infty$ (segundo trozo). El primer sumando tiende a $0$: dividiendo numerador y denominador entre $e^{2x}$,$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{(1+e^x)^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{-x}}{(e^{-x}+1)^2} = \frac{0}{1} = 0$$y el segundo, $\frac{x}{4}$, tiende a $+\infty$. Luego $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$: no hay asíntota horizontal en $+\infty$. Buscamos una oblicua $y = mx + n$:$$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left[\frac{e^x}{x(1+e^x)^2} + \frac{1}{4}\right] = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$$$n = \lim_{x \to +\infty} \left[f(x) - \frac{x}{4}\right] = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{(1+e^x)^2} = 0$$La recta $y = \frac{x}{4}$ es asíntota oblicua en $+\infty$. Como $f(x) - \frac{x}{4} = \frac{e^x}{(1+e^x)^2} > 0$, la gráfica va por encima de ella.

b) En $[0, 1]$ es $x \geq 0$, así que se integra el segundo trozo:$$\int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 \frac{e^x}{(1+e^x)^2}\,dx + \int_0^1 \frac{x}{4}\,dx$$Para la primera, con $t = 1 + e^x$, $dt = e^x\,dx$:$$\int \frac{e^x}{(1+e^x)^2}\,dx = \int \frac{dt}{t^2} = -\frac{1}{t} + C = -\frac{1}{1+e^x} + C$$(Comprobación: la derivada de $-\frac{1}{1+e^x}$ es $\frac{e^x}{(1+e^x)^2}$ ✓.) Por la regla de Barrow:$$\int_0^1 \frac{e^x}{(1+e^x)^2}\,dx = \left[-\frac{1}{1+e^x}\right]_0^1 = -\frac{1}{1+e} + \frac{1}{2}, \qquad \int_0^1 \frac{x}{4}\,dx = \left[\frac{x^2}{8}\right]_0^1 = \frac{1}{8}$$Sumando:$$\int_0^1 f(x)\,dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} - \frac{1}{1+e} = \frac{5}{8} - \frac{1}{1+e} \approx 0{,}625 - 0{,}269 = 0{,}356$$