Matemáticas IIDifícil2 pts

Rectas y planos

Comunidad de Madrid · 2026 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Sea la recta

r \equiv (x, y, z) = (t, 1, t)

t \in \mathbb{R}

. Se pide:

a) (1 punto) Hallar dos planos que se corten en la recta

r

, que formen entre sí un ángulo de

90^\circ

y uno de ellos pase por el punto

(0, 0, 1)

.

b) (1 punto) Justificar que todas las rectas contenidas en los dos planos obtenidos en el apartado anterior que no tienen puntos en común con la recta

r

son necesariamente paralelas entre sí.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\pi_1\colon\ x - y - z + 1 = 0, \qquad \pi_2\colon\ x + 2y - z - 2 = 0}

\boxed{\text{b)}\ \text{cada una es coplanaria con } r \text{ y no la corta} \Rightarrow \text{paralela a } r \Rightarrow \text{paralelas entre sí}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Que dos planos «se corten en la recta

r

» significa que los dos contienen a $r$ : cada uno pasa por un punto de

r

y tiene a su vector director

\vec u

entre sus vectores directores.

El primer plano, $\pi_1$ , contiene a $r$ y al punto $Q(0, 0, 1)$ : sus vectores directores son $\vec u$ y el vector que va de un punto de $r$ a $Q$ . Su normal es el producto vectorial de ambos.
El segundo, $\pi_2$ , contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi_1$ : su normal tiene que ser perpendicular a $\vec u$ (porque contiene a $r$ ) y a $\vec n_1$ (porque los planos forman $90^\circ$ ). Se obtiene como $\vec u \times \vec n_1$ .

En b) la clave es que dos rectas en un mismo plano que no se cortan son paralelas.

Desarrollo

a) La recta pasa por

A(0, 1, 0)

(con

t = 0

) y tiene vector director

\vec u = (1, 0, 1)

. El punto

Q(0, 0, 1)

no está en

r

(todos los puntos de

r

tienen

y = 1

).

Plano $\pi_1$ . Sus vectores directores son

\vec u = (1, 0, 1)

\overrightarrow{AQ} = (0, -1, 1)

. Su vector normal es

\vec n_1 = \vec u \times \overrightarrow{AQ} = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (0 + 1,\ 0 - 1,\ -1 - 0) = (1, -1, -1).

Pasando por

A(0, 1, 0)

\pi_1\colon\ (x - 0) - (y - 1) - (z - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi_1\colon\ x - y - z + 1 = 0.

Plano $\pi_2$ . Su normal debe ser perpendicular a

\vec u

y a

\vec n_1

\vec n_2 = \vec u \times \vec n_1 = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = (0 + 1,\ 1 + 1,\ -1 - 0) = (1, 2, -1).

Pasando por

A(0, 1, 0)

\pi_2\colon\ (x - 0) + 2(y - 1) - (z - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi_2\colon\ x + 2y - z - 2 = 0.

Comprobación.

$Q(0, 0, 1) \in \pi_1$ : $0 - 0 - 1 + 1 = 0$ ✓.
$r$ está en los dos planos: con $(t, 1, t)$ , $t - 1 - t + 1 = 0$ y $t + 2 - t - 2 = 0$ para todo $t$ ✓.
Son perpendiculares: $\vec n_1 \cdot \vec n_2 = 1 - 2 + 1 = 0$ ✓.

Una vez fijado

\pi_1

(el que pasa por

Q

), el plano perpendicular a él que contiene a

r

es único, así que estos son los dos planos.

b) Sea

s

una recta contenida en

\pi_1

o en

\pi_2

que no tiene puntos en común con

r

Si $s \subset \pi_1$ : como $r$ también está en $\pi_1$ , las dos rectas son coplanarias. Dos rectas de un mismo plano que no se cortan son paralelas, luego $s \parallel r$ .
Si $s \subset \pi_2$ , el mismo razonamiento da $s \parallel r$ .

Así, todas esas rectas tienen como vector director uno proporcional a

\vec u = (1, 0, 1)

. Dos de ellas tienen vectores directores proporcionales, luego son paralelas o coincidentes; y si

s_1 \subset \pi_1

s_2 \subset \pi_2

coincidieran, esa recta estaría en

\pi_1 \cap \pi_2 = r

, lo que es imposible porque no corta a

r

. En todos los casos son paralelas entre sí (paralelismo es transitivo: ambas son paralelas a

r

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

«Dos planos que se cortan en $r$ » quiere decir que ambos contienen a $r$ : el vector director de la recta es director de los dos planos. Es lo primero que puntúa la corrección.

Para el plano perpendicular no hace falta plantear ecuaciones con incógnitas: su normal es $\vec u \times \vec n_1$ . Comprueba siempre al final que $\vec n_1 \cdot \vec n_2 = 0$ .