Matemáticas IIFácil2 pts

Rectas y planos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Comunidad de Madrid · 2026 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Sean la recta

r \equiv (x, y, z) = (1 + t,\ 1 + t,\ 1 + t)

t \in \mathbb{R}

, y el plano

\pi\colon\ x + y + z = 0

.

a) (1 punto) Determine la posición relativa de la recta

r

y el plano

\pi

.

b) (1 punto) Halle los puntos de la recta

r

que se encuentran a distancia

\sqrt{3}

del plano

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ r \text{ corta a } \pi \text{ (perpendicularmente) en } (0, 0, 0)}

\boxed{\text{b)}\ (1, 1, 1) \ \text{ y } \ (-1, -1, -1)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) se compara el vector director de la recta con el vector normal del plano. Si su producto escalar no es nulo, la recta corta al plano en un punto (y si además son proporcionales, la recta es perpendicular). El punto de corte se halla sustituyendo las paramétricas en la ecuación del plano.

En b) se toma el punto genérico de la recta,

P_t = (1 + t, 1 + t, 1 + t)

, y se le aplica la fórmula de la distancia de un punto a un plano. Sale una ecuación con valor absoluto, que da dos soluciones: un punto a cada lado del plano.

Desarrollo

a) La recta pasa por

A(1, 1, 1)

con vector director

\vec u = (1, 1, 1)

; el plano tiene vector normal

\vec n = (1, 1, 1)

\vec u \cdot \vec n = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0,

así que la recta no es paralela al plano: lo corta en un único punto. Además

\vec u = \vec n

, de modo que la recta es perpendicular al plano.

Punto de corte: sustituyendo en

x + y + z = 0

(1 + t) + (1 + t) + (1 + t) = 0 \;\Longrightarrow\; 3 + 3t = 0 \;\Longrightarrow\; t = -1,

que da el punto

(0, 0, 0)

.

b) La distancia del punto genérico

P_t = (1 + t, 1 + t, 1 + t)

al plano es

d(P_t, \pi) = \frac{|(1 + t) + (1 + t) + (1 + t)|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{3\,|1 + t|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\,|1 + t|.

Igualando a

\sqrt{3}

\sqrt{3}\,|1 + t| = \sqrt{3} \;\Longrightarrow\; |1 + t| = 1 \;\Longrightarrow\; 1 + t = 1 \ \text{ o } \ 1 + t = -1 \;\Longrightarrow\; t = 0 \ \text{ o } \ t = -2.

$t = 0$ : $P_1 = (1, 1, 1)$ .
$t = -2$ : $P_2 = (-1, -1, -1)$ .

Comprobación.

d(P_1, \pi) = \dfrac{|3|}{\sqrt 3} = \sqrt 3

d(P_2, \pi) = \dfrac{|-3|}{\sqrt 3} = \sqrt 3

✓. Son simétricos respecto del punto de corte

(0, 0, 0)

, como cabe esperar al ser la recta perpendicular al plano.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para la posición relativa recta-plano basta el producto escalar $\vec u \cdot \vec n$ : si no es cero, se cortan. Si te piden la posición, da también el punto de corte.

En b) no olvides el valor absoluto de la fórmula de la distancia: sin él sale un solo punto y pierdes la mitad del apartado. Hay siempre un punto a cada lado del plano.