Sea S el conjunto formado por todas las matrices reales 2\times 2 triangulares superiores para las que el elemento que ocupa el lugar (2, 2) de la matriz es la suma de los elementos de su primera fila, es decir, S = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a + b \end{pmatrix} \ \text{ con } a, b \in \mathbb{R} \right\}. a) (1 punto) Pruebe que si A y B son dos matrices cualesquiera del conjunto S, AB está en S. b) (1 punto) Responda solo a uno de los dos apartados siguientes: b1) Determine para qué valores de a y b las matrices de S son invertibles. Pruebe que si una matriz de S tiene inversa, esta es también una matriz de S. b2) Calcule todas las matrices A de S tales que A^2 = A.

Matemáticas IIMedio2 pts

Matrices

Comunidad de Madrid · 2026 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Sea

S

el conjunto formado por todas las matrices reales

2\times 2

triangulares superiores para las que el elemento que ocupa el lugar

(2, 2)

de la matriz es la suma de los elementos de su primera fila, es decir,

S = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a + b \end{pmatrix} \ \text{ con } a, b \in \mathbb{R} \right\}.

a) (1 punto) Pruebe que si

A

B

son dos matrices cualesquiera del conjunto

S

AB

está en

S

.

b) (1 punto) Responda solo a uno de los dos apartados siguientes:

b1) Determine para qué valores de

a

b

las matrices de

S

son invertibles. Pruebe que si una matriz de

S

tiene inversa, esta es también una matriz de

S

.

b2) Calcule todas las matrices

A

S

tales que

A^2 = A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ AB = \begin{pmatrix} ac & ad + bc + bd \\ 0 & (a + b)(c + d) \end{pmatrix} \in S}

\boxed{\text{b1)}\ \text{invertible} \iff a \neq 0,\ b \neq -a;\quad A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & \frac{-b}{a(a+b)} \\ 0 & \frac{1}{a+b} \end{pmatrix} \in S}

\boxed{\text{b2)}\ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una matriz está en

S

si cumple dos condiciones: es triangular superior (el elemento

(2,1)

0

) y su elemento

(2,2)

es la suma de los de la primera fila. Para probar que algo está en

S

hay que comprobar las dos.

En a) se toman dos matrices genéricas de

S

, con letras distintas (

a, b

c, d

), se multiplican y se mira si el producto cumple las dos condiciones. Tomar dos matrices concretas, o la misma dos veces, no prueba nada en general.

En b1) una matriz es invertible si y solo si su determinante no es nulo; luego se calcula la inversa y se comprueban las dos condiciones.

En b2) se escribe

A^2 = A

elemento a elemento: sale un sistema no lineal de tres ecuaciones que se resuelve por casos.

Desarrollo

a) Sean

A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a + b \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & c + d \end{pmatrix}

dos matrices cualesquiera de

S

. Su producto es

AB = \begin{pmatrix} ac & ad + b(c + d) \\ 0 & (a + b)(c + d) \end{pmatrix}.

Es triangular superior: el elemento $(2, 1)$ es $0$ .
La suma de su primera fila es $ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d)$ , que es justo el elemento $(2, 2)$ .

Luego

AB = \begin{pmatrix} a' & b' \\ 0 & a' + b' \end{pmatrix}

con

a' = ac

b' = ad + bc + bd

: $AB$ está en $S$ .

b1) El determinante de una matriz de

S

es el producto de la diagonal:

\begin{vmatrix} a & b \\ 0 & a + b \end{vmatrix} = a(a + b).

La matriz es invertible si y solo si $a \neq 0$ y $a + b \neq 0$ (es decir,

b \neq -a

).

En ese caso, por la fórmula de la inversa de una matriz

2\times 2

A^{-1} = \frac{1}{a(a + b)}\begin{pmatrix} a + b & -b \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{a} & \dfrac{-b}{a(a + b)} \\[8pt] 0 & \dfrac{1}{a + b} \end{pmatrix}.

Es triangular superior y la suma de su primera fila es

\frac{1}{a} - \frac{b}{a(a + b)} = \frac{(a + b) - b}{a(a + b)} = \frac{a}{a(a + b)} = \frac{1}{a + b},

que coincide con el elemento

(2, 2)

. Por tanto $A^{-1}$ también está en $S$ .

b2) Con

A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a + b \end{pmatrix}

A^2 = \begin{pmatrix} a^2 & ab + b(a + b) \\ 0 & (a + b)^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & b(2a + b) \\ 0 & (a + b)^2 \end{pmatrix}.

Igualando con

A

elemento a elemento:

a^2 = a, \qquad b(2a + b) = b, \qquad (a + b)^2 = a + b.

La primera da

a = 0

a = 1

, y la tercera,

a + b = 0

a + b = 1

. La segunda se escribe

b\,(2a + b - 1) = 0

, así que

b = 0

2a + b = 1

Si $b = 0$ : queda $a \in \{0, 1\}$ (la tercera se cumple sola). Salen la matriz nula y la identidad.
Si $b \neq 0$ , entonces $2a + b = 1$ :

- con

a = 0

b = 1

a + b = 1

✓;
- con

a = 1

b = -1

a + b = 0

✓.

Son cuatro matrices:

\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Comprobación de las dos últimas:

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

✓

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para probar que una matriz «está en $S$ » comprueba las dos condiciones que lo definen: el cero bajo la diagonal y que el elemento $(2,2)$ es la suma de la primera fila. Y hazlo con matrices genéricas: si tomas $A = B$ , la corrección te da como mucho $0{,}4$ puntos.

En b2), al pasar de $b(2a + b) = b$ a $2a + b = 1$ estás dividiendo entre $b$ : separa antes el caso $b = 0$ , que da la nula y la identidad. Es el error típico perderlas.