Matemáticas IIMedio2 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Integrales

Comunidad de Madrid · 2026 · Julio (coincidentes)

Enunciado

La potencia instantánea en el momento

t

P(t)

, es la derivada de la energía producida hasta el momento

t

. Una instalación fotovoltaica doméstica en un día despejado genera una potencia en kilowatios (kW) que se modeliza por la siguiente función con respecto a la hora del día

t \in [0, 24)

P(t) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \le t < 8 \\[4pt] 3 + 3\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{8}(t - 12)\right) & \text{si } 8 \le t \le 20 \\[4pt] 0 & \text{si } 20 < t < 24 \end{cases}

a) (1 punto) Determine cuándo esa potencia aumenta y cuándo disminuye. ¿Cuál es el momento del día en que la instalación entrega su potencia máxima?

b) (1 punto) Halle la energía producida a lo largo del día en kilowatios hora (kWh).

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ \text{crece en } (8, 16),\ \text{decrece en } (16, 20);\ \text{máximo a las } 16 \text{ h } (6 \text{ kW})}

\boxed{\text{b)}\ E = 36 + \frac{24}{\pi} \approx 43{,}64 \text{ kWh}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Fuera del intervalo

[8, 20]

la potencia es constante (

0

): ni crece ni decrece. Todo el trabajo está en el tramo central, donde basta derivar (regla de la cadena) y estudiar el signo de un coseno. Para ello conviene llamar

u = \frac{\pi}{8}(t - 12)

y ver qué valores recorre

u

cuando

t

va de

8

20

.

En b), como la potencia es la derivada de la energía, la energía del día es la integral de la potencia de

0

24

. Los tramos nulos no aportan nada, así que queda una integral entre

8

20

que se resuelve con una primitiva casi inmediata y la regla de Barrow.

Desarrollo

a) En

[0, 8)

y en

(20, 24)

P(t) = 0

es constante. En el tramo central, por la regla de la cadena,

P'(t) = 3\cos\left(\frac{\pi}{8}(t - 12)\right)\cdot\frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}\cos\left(\frac{\pi}{8}(t - 12)\right), \qquad 8 < t < 20.

t

va de

8

20

, el ángulo

u = \frac{\pi}{8}(t - 12)

va de

-\frac{\pi}{2}

\pi

. En ese recorrido el coseno es positivo para

-\frac{\pi}{2} < u < \frac{\pi}{2}

y negativo para

\frac{\pi}{2} < u < \pi

. Se anula en

u = \frac{\pi}{2}

, es decir,

\frac{\pi}{8}(t - 12) = \frac{\pi}{2} \;\Longrightarrow\; t - 12 = 4 \;\Longrightarrow\; t = 16.

$t$	$(8, 16)$	$16$	$(16, 20)$
signo de $P'(t)$	$+$	$0$	$-$
$P(t)$	crece	máximo	decrece

La potencia aumenta entre las $8$ y las $16$ horas.
La potencia disminuye entre las $16$ y las $20$ horas (a las $20$ vale $3 + 3\operatorname{sen}\pi = 3$ kW y después cae de golpe a $0$ ).
Entre las $0$ y las $8$ y entre las $20$ y las $24$ es constante (nula).

Potencia máxima. Se alcanza a las

t = 16

h (las cuatro de la tarde):

P(16) = 3 + 3\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} = 3 + 3 = 6 \text{ kW}.

Es el máximo absoluto del día, porque el seno no pasa de

1

y fuera de

[8, 20]

la potencia es

0

.

b) La energía del día es

E = \int_0^{24} P(t)\,dt = \int_8^{20} \left(3 + 3\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{8}(t - 12)\right)\right) dt.

Una primitiva del seno es

\int \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{8}(t - 12)\right) dt = -\frac{8}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{8}(t - 12)\right)

, así que

E = \left[\,3t - \frac{24}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{8}(t - 12)\right)\right]_8^{20}.

En los extremos,

\cos\pi = -1

\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0

E = \left(60 - \frac{24}{\pi}\cdot(-1)\right) - \left(24 - \frac{24}{\pi}\cdot 0\right) = 36 + \frac{24}{\pi} \approx 43{,}64 \text{ kWh}.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al derivar $\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{8}(t-12)\right)$ no olvides multiplicar por $\frac{\pi}{8}$ , y al integrarlo, dividir por él (sale $\frac{8}{\pi}$ ). Equivocarse de sentido en ese factor es el fallo típico.

Para el signo del coseno, traduce siempre el intervalo de $t$ a un intervalo de ángulo: así ves de un vistazo dónde es positivo. Y no olvides decir qué pasa en los tramos constantes.