Matemáticas IIMedio2 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2026 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Un virus estomacal presenta como síntomas diarreas y fiebres en un

95\,\%

de los infectados. En un momento de presión asistencial en la Comunidad de Madrid,

40

de cada mil habitantes están infectados por dicho virus. Por otro lado, un

0{,}5\,\%

de la población no infectada por el virus presenta los mismos síntomas por otras causas.

a) (1 punto) Una persona tiene los síntomas. ¿Cuál es la probabilidad de que esté infectado por el virus estomacal?

b) (1 punto) Dadas dos personas que tienen los síntomas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas tenga el virus?

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(V \mid S) = \frac{95}{107} \approx 0{,}8879 \qquad \text{b)}\ P(X \ge 1) = \frac{11\,305}{11\,449} \approx 0{,}9874}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el esquema clásico de una prueba diagnóstica: la población se parte en infectados y no infectados, y de cada grupo conocemos la probabilidad de tener síntomas. Lo primero es escribir bien los cuatro datos («

40

de cada mil» es

0{,}04

).

En a) nos dan el efecto (tiene síntomas) y nos piden la causa (está infectado): es el teorema de Bayes, que necesita antes la probabilidad total de tener síntomas.

En b) cada una de las dos personas con síntomas tiene, de forma independiente, la probabilidad de a) de estar infectada. El número de infectadas entre las dos es una binomial

B(2, p)

y «al menos una» se calcula mejor por el complementario:

1 - P(\text{ninguna})

Desarrollo

Sucesos y datos. Sean

V

= «estar infectado por el virus» y

S

= «tener los síntomas».

P(V) = \frac{40}{1000} = 0{,}04, \qquad P(\overline{V}) = 0{,}96, \qquad P(S \mid V) = 0{,}95, \qquad P(S \mid \overline{V}) = 0{,}005.

a) Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de tener síntomas es

P(S) = P(S \mid V)\,P(V) + P(S \mid \overline{V})\,P(\overline{V}) = 0{,}95 \cdot 0{,}04 + 0{,}005 \cdot 0{,}96 = 0{,}038 + 0{,}0048 = 0{,}0428.

Por el teorema de Bayes,

P(V \mid S) = \frac{P(S \mid V)\,P(V)}{P(S)} = \frac{0{,}038}{0{,}0428} = \frac{380}{428} = \frac{95}{107} \approx 0{,}8879.

Aunque el virus solo afecta al

4\,\%

de la población, casi el

89\,\%

de quienes tienen síntomas está infectado: los síntomas por otras causas son muy raros (

0{,}5\,\%

).

b) Sea

X

= número de personas infectadas entre las dos con síntomas. Cada una lo está con probabilidad

p = \frac{95}{107}

, de forma independiente, así que

X \sim B\!\left(2,\ \tfrac{95}{107}\right).

«Al menos una» es

X \ge 1

, y por el complementario:

P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \left(1 - \frac{95}{107}\right)^2 = 1 - \left(\frac{12}{107}\right)^2 = 1 - \frac{144}{11\,449} = \frac{11\,305}{11\,449} \approx 0{,}9874.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas $P(S \mid V) = 0{,}95$ (dato) con $P(V \mid S)$ (lo que se pide): es justo el camino inverso y por eso hace falta Bayes. Un árbol con las dos ramas $V$ y $\overline{V}$ lo deja todo a la vista.

En b) la corrección puntúa reconocer la binomial y sus parámetros: escribe $X \sim B(2, p)$ con el $p$ de a). Si en a) te equivocaste, el b) se corrige con tu valor.