Matemáticas IIMedio2 pts

Integrales

Comunidad de Madrid · 2026 · Julio

Enunciado

Halle el valor real

a

tal que

\int_0^{\pi/3} (x - a)\operatorname{sen}(3x)\,dx = \frac{2\pi}{9}.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{a = -\frac{\pi}{6}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El parámetro

a

es una constante, así que separamos la integral en dos:

\int_0^{\pi/3} x\operatorname{sen}(3x)\,dx - a\int_0^{\pi/3} \operatorname{sen}(3x)\,dx.

La primera sale por partes (polinomio por seno:

u = x

dv = \operatorname{sen}(3x)\,dx

) y la segunda es casi inmediata. Con la regla de Barrow nos queda una ecuación de primer grado en

a

Desarrollo

Primitiva de $x\operatorname{sen}(3x)$ , por partes. Con

u = x \Rightarrow du = dx

dv = \operatorname{sen}(3x)\,dx \Rightarrow v = -\dfrac{1}{3}\cos(3x)

\int x\operatorname{sen}(3x)\,dx = -\frac{x}{3}\cos(3x) + \frac{1}{3}\int \cos(3x)\,dx = -\frac{x}{3}\cos(3x) + \frac{1}{9}\operatorname{sen}(3x) + C.

Primitiva de $\operatorname{sen}(3x)$ .

\int \operatorname{sen}(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x) + C.

Regla de Barrow. En los extremos,

\cos(3\cdot\tfrac{\pi}{3}) = \cos\pi = -1

\operatorname{sen}\pi = 0

\cos 0 = 1

\operatorname{sen} 0 = 0

\int_0^{\pi/3} x\operatorname{sen}(3x)\,dx = \left[-\frac{x}{3}\cos(3x) + \frac{1}{9}\operatorname{sen}(3x)\right]_0^{\pi/3} = \left(-\frac{\pi}{9}\cdot(-1) + 0\right) - (0 + 0) = \frac{\pi}{9},

\int_0^{\pi/3} \operatorname{sen}(3x)\,dx = \left[-\frac{1}{3}\cos(3x)\right]_0^{\pi/3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

Por tanto,

\int_0^{\pi/3} (x - a)\operatorname{sen}(3x)\,dx = \frac{\pi}{9} - \frac{2a}{3}.

Ecuación para $a$ .

\frac{\pi}{9} - \frac{2a}{3} = \frac{2\pi}{9} \;\Longrightarrow\; -\frac{2a}{3} = \frac{\pi}{9} \;\Longrightarrow\; a = -\frac{\pi}{6}.

Comprobación. Con

a = -\dfrac{\pi}{6}

\dfrac{\pi}{9} - \dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\pi}{9} + \dfrac{\pi}{9} = \dfrac{2\pi}{9}

✓. Numéricamente,

a \approx -0{,}5236

y la integral vale

\approx 0{,}6981

. Como en

\left[0, \tfrac{\pi}{3}\right]

el integrando

\left(x + \tfrac{\pi}{6}\right)\operatorname{sen}(3x)

no es negativo, la integral coincide con el área bajo la curva, que es lo que dibuja la simulación.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En la integración por partes con $\operatorname{sen}(3x)$ hay que dividir dos veces entre $3$ : $v = -\frac13\cos(3x)$ y, al integrar $\cos(3x)$ , otra vez $\frac13$ . Olvidar uno de los treses es el error más habitual y estropea la primitiva entera.

Saca la $a$ fuera de la integral como una constante antes de empezar: así la cuenta queda limpia y la ecuación final es de primer grado.