Derivadas y aplicaciones

Dominio. Se necesita $x > 0$ y $\ln x \neq 0$, es decir, $x \neq 1$:$$\operatorname{Dom}(f) = (0, 1) \cup (1, +\infty).$$Derivada. Por la regla del cociente, en todo el dominio:$$f'(x) = \frac{1\cdot\ln x - x\cdot\dfrac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}.$$Puntos críticos. El denominador es positivo en todo el dominio, así que$$f'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \ln x = 1 \;\Longleftrightarrow\; x = e.$$Signo de $f'$. Depende solo del numerador, $\ln x - 1$, y los intervalos los marcan $x = 1$ (fuera del dominio) y $x = e$:Por ejemplo, $f'(e^2) = \dfrac{2 - 1}{4} > 0$ y $f'\!\left(\tfrac{1}{e}\right) = \dfrac{-1 - 1}{1} < 0$.

Monotonía. $f$ es decreciente en $(0, 1)$ y en $(1, e)$, y creciente en $(e, +\infty)$.

Extremos. En $x = e$ la función pasa de decrecer a crecer (y es continua allí): tiene un mínimo relativo, de valor$$f(e) = \frac{e}{\ln e} = e.$$No hay más extremos relativos: $x = 1$ no está en el dominio (es una asíntota vertical), así que no puede ser un extremo aunque la monotonía «cambie de tramo» allí.

Comprobación. $f(e) = e \approx 2{,}718$ y, por ejemplo, $f(2) = \dfrac{2}{\ln 2} \approx 2{,}885$ y $f(4) = \dfrac{4}{\ln 4} \approx 2{,}885$: los dos son mayores que $f(e)$ ✓.