Áreas, volúmenes y distancias

Llamamos $\pi\colon\ 2x - 2y + z - 1 = 0$, con vector normal $\vec{n} = (2, -2, 1)$ y $|\vec{n}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$. El punto $P$ no está en $\pi$: $2 - 4 + 1 = -1 \neq 1$.

a) Como una cara del cubo está en $\pi$ y $P$ es un vértice fuera de él, $P$ está en la cara paralela a $\pi$, y la distancia entre esas dos caras es el lado $\ell$:$$\ell = d(P, \pi) = \frac{|2\cdot 1 - 2\cdot 2 + 1 - 1|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{3} = \frac{2}{3}.$$El volumen es$$V = \ell^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}\ \text{u}^3.$$b) La arista del cubo que sale de $P$ hacia la base es perpendicular a $\pi$, así que su otro extremo es la proyección ortogonal $P'$ de $P$ sobre $\pi$. La recta perpendicular a $\pi$ por $P$ es$$s \equiv (x, y, z) = (1 + 2t,\ 2 - 2t,\ 1 + t).$$Su corte con el plano:$$2(1 + 2t) - 2(2 - 2t) + (1 + t) = 1 \;\Longrightarrow\; 9t - 1 = 1 \;\Longrightarrow\; t = \frac{2}{9}.$$$$P' = \left(1 + \frac{4}{9},\ 2 - \frac{4}{9},\ 1 + \frac{2}{9}\right) = \left(\frac{13}{9},\ \frac{14}{9},\ \frac{11}{9}\right).$$Comprobaciones. $P'$ está en el plano: $\dfrac{26}{9} - \dfrac{28}{9} + \dfrac{11}{9} = \dfrac{9}{9} = 1$ ✓. Y la arista mide lo que debe:$$\overrightarrow{PP'} = \left(\frac{4}{9}, -\frac{4}{9}, \frac{2}{9}\right) = \frac{2}{9}\,(2, -2, 1), \qquad |\overrightarrow{PP'}| = \frac{2}{9}\cdot 3 = \frac{2}{3} = \ell \ \checkmark$$Otra forma. También vale un vértice de la misma cara que $P$: basta desplazar $P$ una distancia $\tfrac23$ en una dirección paralela al plano, por ejemplo $\vec{u} = (1, 1, 0)$ (cumple $\vec{u}\cdot\vec{n} = 0$). Así se obtiene el vértice $P + \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{(1, 1, 0)}{\sqrt{2}} = \left(1 + \dfrac{\sqrt{2}}{3},\ 2 + \dfrac{\sqrt{2}}{3},\ 1\right)$ de un cubo con esa orientación; pero el enunciado no fija cómo está girado el cubo dentro del plano, así que el único vértice que queda determinado por los datos es $P'$.