Rectas y planos

Datos. $r_1$ pasa por $P_1(1, 1, 0)$ con director $\vec{v}_1 = (1, 0, 0)$; $r_2$ pasa por $P_2(1, 0, 0)$ con director $\vec{v}_2 = (1, 1, 0)$.

a) $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$ no son proporcionales, así que las rectas no son paralelas ni coincidentes. Con $\overrightarrow{P_1P_2} = (0, -1, 0)$:$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0,$$porque la tercera columna es nula. El rango de la matriz es $2$ (el menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$), así que los tres vectores son coplanarios: las rectas se cortan en un punto. (Era de esperar: las dos están en el plano $z = 0$.)

Punto de corte. Igualamos $(1 + t, 1, 0) = (1 + s, s, 0)$: de la segunda coordenada $s = 1$ y de la primera $t = s = 1$. Se cortan en$$Q(2, 1, 0).$$b) Como la hipotenusa está en $r_2$, sus extremos son $Q$ y $R = r_2 \cap r_3$. Buscamos $R = (1 + s, s, 0)$ con $|\overrightarrow{QR}| = \sqrt{2}$:$$\overrightarrow{QR} = (s - 1,\ s - 1,\ 0), \qquad (s - 1)^2 + (s - 1)^2 = 2 \;\Longrightarrow\; (s - 1)^2 = 1 \;\Longrightarrow\; s = 0 \ \text{o}\ s = 2.$$Hay dos posibilidades: $R(1, 0, 0)$ o $R'(3, 2, 0)$.

El ángulo recto está en $S = r_1 \cap r_3$, así que $r_3$ pasa por $R$ y corta a $r_1$ perpendicularmente: $S$ es el pie de la perpendicular desde $R$ a $r_1$. Con $S = (1 + t, 1, 0)$ y $R(1, 0, 0)$:$$\overrightarrow{RS} = (t, 1, 0), \qquad \overrightarrow{RS}\cdot\vec{v}_1 = t = 0 \;\Longrightarrow\; S(1, 1, 0),\quad \overrightarrow{RS} = (0, 1, 0).$$Una recta que cumple lo pedido es$$r_3 \equiv (x, y, z) = (1, 0, 0) + \lambda\,(0, 1, 0), \quad \lambda \in \mathbb{R} \qquad (\text{es decir, } x = 1,\ z = 0).$$Con $R'(3, 2, 0)$ sale del mismo modo $S'(3, 1, 0)$ y la otra solución, $r_3' \equiv (x, y, z) = (3, 2, 0) + \lambda\,(0, 1, 0)$.

Comprobación (con $r_3$). Vértices $Q(2, 1, 0)$, $S(1, 1, 0)$ y $R(1, 0, 0)$:$$\overrightarrow{SQ} = (1, 0, 0), \quad \overrightarrow{SR} = (0, -1, 0), \quad \overrightarrow{SQ}\cdot\overrightarrow{SR} = 0 \ \checkmark$$Los catetos miden $1$ y $1$, y la hipotenusa $|QR| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$, contenida en $r_2$ ✓. (Es isósceles porque $r_1$ y $r_2$ forman $45^\circ$.)