Matemáticas IIMedio2 pts

Matrices

También trata: Determinantes

Comunidad de Madrid · 2026 · Julio

Enunciado

Se consideran las matrices:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

a) (1 punto) Resuelva la ecuación matricial:

AX + X = B

.

b) (1 punto) Responda solo a uno de los dos apartados siguientes:

b1) Calcule el determinante de la matriz

(2C)^{100}

aplicando propiedades de los determinantes.

b2) Justifique si las matrices

A

AB

son invertibles.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ X = (A + I)^{-1}B = \begin{pmatrix} 3/2 & 0 \\ 1/2 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}}

\boxed{\text{b1)}\ \left|(2C)^{100}\right| = 8^{100} = 2^{300} \qquad \text{b2)}\ A \text{ sí } (|A| = 1);\ AB \text{ no (es } 3\times 2)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) hay que sacar

X

factor común por la derecha:

AX + X = AX + IX = (A + I)X

. Si

A + I

es invertible, multiplicamos por su inversa por la izquierda. Fíjate en los tamaños:

B

3\times 2

, así que

X

también lo será.

En b1) no hace falta calcular ninguna potencia: bastan dos propiedades,

|M^n| = |M|^n

|kM| = k^n|M|

para una matriz de orden

n

(aquí

n = 3

).

En b2) una matriz es invertible si y solo si es cuadrada y su determinante no es nulo. Hay que mirar las dos cosas.

Desarrollo

a) Sacamos factor común:

AX + X = B \;\Longrightarrow\; (A + I)\,X = B, \qquad A + I = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}.

Desarrollando por la primera columna,

|A + I| = 2\cdot\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2\cdot 4 = 8 \neq 0,

así que

A + I

es invertible y

X = (A + I)^{-1}B

.

Inversa. Los adjuntos de

M = A + I

son

M_{11} = 4,\; M_{12} = 0,\; M_{13} = 0,\quad M_{21} = 2,\; M_{22} = 4,\; M_{23} = -4,\quad M_{31} = -2,\; M_{32} = 0,\; M_{33} = 4,

(A + I)^{-1} = \frac{1}{8}\begin{pmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & -4 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/4 & -1/4 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & -1/2 & 1/2 \end{pmatrix}.

Solución.

X = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/4 & -1/4 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & -1/2 & 1/2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + \frac14 + \frac14 & -\frac12 + 0 + \frac12 \\[2pt] \frac12 & 0 \\[2pt] -\frac12 - \frac12 & 0 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/2 & 0 \\ 1/2 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}.

Comprobación.

(A + I)X = \begin{pmatrix} 2\cdot\frac32 - 1 & 0 - 1 \\ 2\cdot\frac12 & 0 \\ 2\cdot\frac12 - 2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = B

✓

b1)

C

es triangular inferior, así que su determinante es el producto de la diagonal:

|C| = 1\cdot 1\cdot 1 = 1

.

Por las propiedades del determinante de una potencia,

|M^n| = |M|^n

, y de un número por una matriz de orden

3

|kM| = k^3|M|

\left|(2C)^{100}\right| = |2C|^{100} = \left(2^3\,|C|\right)^{100} = \left(8\cdot 1\right)^{100} = 8^{100} = 2^{300}.

b2)

$A$ es cuadrada y, desarrollando por la primera columna, $|A| = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ . Por tanto $A$ es invertible.
$AB$ es el producto de una matriz $3\times 3$ por una $3\times 2$ : es de tamaño $3\times 2$ . No es cuadrada, luego no es invertible (ni siquiera tiene sentido hablar de su determinante).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al sacar factor común escribe $(A + I)X$ , nunca $(A + 1)X$ : no se puede sumar un número a una matriz. Y la inversa va a la izquierda, porque $A + I$ multiplica a $X$ por la izquierda.

En b1) el error típico es poner $|2C| = 2|C|$ : el $2$ multiplica las tres filas, así que sale $2^3$ . Enuncia las dos propiedades que usas: la corrección puntúa enunciarlas y aplicarlas.