Matemáticas IIDifícil2 pts

Optimización

También trata: Integrales
Comunidad de Madrid · 2026 · Julio
Enunciado
Un diseñador gráfico propone una bandera usando los colores verde, blanco y rojo. Para ello considera un rectángulo de base 88 y altura 22, toma como origen de coordenadas el extremo inferior izquierdo del rectángulo y los lados izquierdo e inferior están sobre los ejes coordenados OYOY e OXOX, respectivamente. En el rectángulo descrito traza la curva de ecuación y=2−x3y = 2 - \sqrt[3]{x} que va del vértice superior izquierdo del rectángulo al vértice inferior derecho. El diseñador quiere que la parte del rectángulo que queda por encima de la curva dada sea blanca. Para la parte que queda por debajo de la curva, toma un nuevo rectángulo con el vértice inferior izquierdo en el origen de coordenadas y el superior derecho en la curva. Ese rectángulo sería verde y lo que queda sería rojo.

Calcule el área que ocupa cada color en esta bandera si el diseñador quiere que el área roja sea la menor posible.
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Resultado
Ablanca=12 u2,Averde=2716 u2,Aroja=3716 u2\boxed{A_{\text{blanca}} = 12 \text{ u}^2, \qquad A_{\text{verde}} = \frac{27}{16} \text{ u}^2, \qquad A_{\text{roja}} = \frac{37}{16} \text{ u}^2}El rectángulo verde tiene base 278\dfrac{27}{8} y altura 12\dfrac{1}{2} (vértice superior derecho en (278,12)\left(\tfrac{27}{8}, \tfrac12\right)).
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Haz el dibujo: el rectángulo [0,8]×[0,2][0, 8]\times[0, 2] y la curva y=2−x3y = 2 - \sqrt[3]{x}, que baja de (0,2)(0, 2) a (8,0)(8, 0). La curva parte la bandera en dos trozos fijos:
  • Por encima, la zona blanca, que no depende de nada: es el área del rectángulo menos el área bajo la curva, una integral definida.
  • Por debajo, una región de área fija que se reparte entre el verde (el rectángulo inscrito) y el rojo (lo que sobra).
Como rojo = (área bajo la curva) − verde, que el rojo sea mínimo equivale a que el verde sea máximo. Es un problema de optimización: el vértice del rectángulo verde es un punto (x,y)(x, y) de la curva, así que su área depende solo de xx.
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Desarrollo

Área bajo la curva. En [0,8][0, 8] se tiene 0≤x3≤20 \leq \sqrt[3]{x} \leq 2, así que la curva no sale del rectángulo. El área de la región bajo ella es∫08(2−x1/3)dx=[2x−34 x4/3]08=16−34⋅16=16−12=4,\int_0^8 \left(2 - x^{1/3}\right) dx = \left[2x - \frac{3}{4}\,x^{4/3}\right]_0^8 = 16 - \frac{3}{4}\cdot 16 = 16 - 12 = 4,porque 84/3=(83)4=24=168^{4/3} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^4 = 2^4 = 16.

Área blanca. Es el rectángulo menos lo de debajo:Ablanca=16−4=12(o directamente, ∫08x1/3 dx=12).A_{\text{blanca}} = 16 - 4 = 12 \quad \left(\text{o directamente, } \int_0^8 x^{1/3}\,dx = 12\right).Área verde. El rectángulo verde tiene un vértice en el origen y el opuesto en el punto (x, 2−x3)\left(x,\ 2 - \sqrt[3]{x}\right) de la curva, con 0≤x≤80 \leq x \leq 8. Su área esV(x)=x(2−x1/3)=2x−x4/3,x∈[0,8].V(x) = x\left(2 - x^{1/3}\right) = 2x - x^{4/3}, \qquad x \in [0, 8].El área roja es R(x)=4−V(x)R(x) = 4 - V(x), así que minimizar RR es lo mismo que maximizar VV.

Derivada.V′(x)=2−43 x1/3=0  ⟹  x1/3=32  ⟹  x=278.V'(x) = 2 - \frac{4}{3}\,x^{1/3} = 0 \;\Longrightarrow\; x^{1/3} = \frac{3}{2} \;\Longrightarrow\; x = \frac{27}{8}.¿Es máximo? V′(x)>0V'(x) > 0 en [0,278)\left[0, \tfrac{27}{8}\right) y V′(x)<0V'(x) < 0 en (278,8]\left(\tfrac{27}{8}, 8\right]: VV crece y luego decrece, así que en x=278x = \tfrac{27}{8} alcanza su máximo absoluto en [0,8][0, 8]. (También V′′(x)=−49 x−2/3<0V''(x) = -\dfrac{4}{9}\,x^{-2/3} < 0.) En los extremos, V(0)=V(8)=0V(0) = V(8) = 0.

Áreas. En x=278x = \tfrac{27}{8} el vértice está a altura 2−32=122 - \tfrac32 = \tfrac12, de modo queAverde=V ⁣(278)=278⋅12=2716,Aroja=4−2716=3716.A_{\text{verde}} = V\!\left(\frac{27}{8}\right) = \frac{27}{8}\cdot\frac{1}{2} = \frac{27}{16}, \qquad A_{\text{roja}} = 4 - \frac{27}{16} = \frac{37}{16}.Comprobación. 12+2716+3716=12+6416=1612 + \dfrac{27}{16} + \dfrac{37}{16} = 12 + \dfrac{64}{16} = 16, el área de la bandera ✓. En decimales: blanca 1212, verde ≈1,6875\approx 1{,}6875 y roja ≈2,3125\approx 2{,}3125.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

La clave es darse cuenta de que el rojo es «lo de debajo de la curva menos el verde»: como lo de debajo no cambia, minimizar el rojo es maximizar el verde. Dilo por escrito, porque es lo que justifica que optimices el rectángulo.

Escribe el área con una sola variable sustituyendo y=2−x3y = 2 - \sqrt[3]{x}, y no olvides justificar que el punto crítico es un máximo (con el signo de V′V' o con V′′V''): tiene su propia puntuación.
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