Matemáticas IIMedio2 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2026 · Julio

Enunciado

85\,\%

de los alumnos de un instituto viven en la misma localidad en la que se sitúa el centro educativo y el resto en pueblos de alrededor. El

75\,\%

de los alumnos que acuden al instituto desde fuera de la localidad llegan puntuales a clase por la mañana y el

5\,\%

de los alumnos que viven en la misma localidad que el centro llegan tarde a primera hora.

a) (1 punto) Calcule el porcentaje de alumnos del instituto que llegan tarde a primera hora.

b) (1 punto) Se elige un alumno del centro al azar. Halle la probabilidad de que sea de un pueblo de alrededor si se sabe que ha llegado puntual a clase por la mañana.

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(T) = 0{,}85\cdot 0{,}05 + 0{,}15\cdot 0{,}25 = 0{,}08 \ \Longrightarrow\ \text{el } 8\,\% \text{ llega tarde}}

\boxed{\text{b)}\ P(\overline{L} \mid P) = \frac{0{,}15\cdot 0{,}75}{0{,}92} = \frac{45}{368} \approx 0{,}1223}

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Estrategia

Es el esquema clásico de dos etapas: primero dónde vive el alumno (en la localidad o en un pueblo de alrededor) y después si llega puntual o tarde. Lo natural es un diagrama de árbol con las probabilidades de cada rama.

Cuidado con los datos: uno viene dado como «llegan puntuales» y el otro como «llegan tarde». Hay que pasar los dos al mismo suceso con el complementario antes de usarlos.

En a) sumamos los dos caminos que acaban en «tarde» (probabilidad total). En b) la información que se conoce es el resultado final (ha llegado puntual) y se pregunta por la primera etapa: es el teorema de Bayes.

Desarrollo

Sucesos. Sea

L

= «vive en la misma localidad que el centro» y

\overline{L}

= «vive en un pueblo de alrededor». Sea

P

= «llega puntual a primera hora» y

T = \overline{P}

= «llega tarde».

Datos.

P(L) = 0{,}85, \qquad P(\overline{L}) = 1 - 0{,}85 = 0{,}15,

P(P \mid \overline{L}) = 0{,}75 \;\Longrightarrow\; P(T \mid \overline{L}) = 0{,}25, \qquad P(T \mid L) = 0{,}05 \;\Longrightarrow\; P(P \mid L) = 0{,}95.

a) Por el teorema de la probabilidad total, con la partición

\{L, \overline{L}\}

P(T) = P(L)\,P(T \mid L) + P(\overline{L})\,P(T \mid \overline{L}) = 0{,}85\cdot 0{,}05 + 0{,}15\cdot 0{,}25 = 0{,}0425 + 0{,}0375 = 0{,}08.

8\,\%

de los alumnos del instituto llega tarde a primera hora.

b) Nos piden

P(\overline{L} \mid P)

. Primero, la probabilidad de llegar puntual:

P(P) = 1 - P(T) = 1 - 0{,}08 = 0{,}92.

(También sale directamente:

0{,}85\cdot 0{,}95 + 0{,}15\cdot 0{,}75 = 0{,}8075 + 0{,}1125 = 0{,}92

✓.)

Por el teorema de Bayes:

P(\overline{L} \mid P) = \frac{P(\overline{L} \cap P)}{P(P)} = \frac{P(\overline{L})\,P(P \mid \overline{L})}{P(P)} = \frac{0{,}15\cdot 0{,}75}{0{,}92} = \frac{0{,}1125}{0{,}92} = \frac{45}{368} \approx 0{,}1223.

Comprobación. La probabilidad complementaria es

P(L \mid P) = \dfrac{0{,}8075}{0{,}92} = \dfrac{323}{368} \approx 0{,}8777

, y las dos suman

1

✓. Además el resultado es coherente: saber que llegó puntual hace algo menos probable que venga de fuera (

0{,}1223 < 0{,}15

), porque los de fuera llegan tarde más a menudo.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de hacer el árbol, pasa todos los datos al mismo suceso: aquí uno hablaba de «puntuales» y el otro de «tarde». Mezclarlos es el error más frecuente y la corrección puntúa aparte cada probabilidad condicionada bien obtenida.

En b) define el suceso que te piden con su notación, $P(\overline{L} \mid P)$ , antes de calcular: identificar el suceso tiene su propia puntuación.