Matemáticas IIMedio2,5 pts

Distribución normal

Extremadura · 2026 · Junio
Enunciado
En un estudio realizado por una empresa hotelera se ha obtenido que la distribución del tiempo de estancia del viajero en el hotel es una ley normal de media 3,73{,}7 días y desviación típica 1,51{,}5 días. Calcular:

a) (0,75 puntos) ¿Qué probabilidad habrá de que un viajero permanezca en el hotel entre 22 y 55 días?

b) (0,75 puntos) Si se contabilizan 10001000 viajeros, ¿cuántos han estado en el hotel más de 77 días?

c) (1 punto) La empresa quiere bonificar con un descuento a los viajeros que permanezcan muchos días. Después de hacer un estudio del presupuesto con el que cuenta la empresa, solo se puede aplicar al 10 %10\ \% de los viajeros. ¿A partir de qué número de días de permanencia se les podrá aplicar el descuento?
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Resultado
a) P(2≤X≤5)≈0,6786\boxed{\text{a)}\ P(2 \le X \le 5) \approx 0{,}6786}b) P(X>7)≈0,0139: unos 14 de 1000 viajeros\boxed{\text{b)}\ P(X > 7) \approx 0{,}0139:\ \text{unos } 14 \text{ de } 1000 \text{ viajeros}}c) k≈5,62 dıˊas (en dıˊas completos, a partir de 6)\boxed{\text{c)}\ k \approx 5{,}62\ \text{días (en días completos, a partir de } 6\text{)}}
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Estrategia

Llamamos XX al tiempo de estancia de un viajero: X∼N(3,7; 1,5)X \sim N(3{,}7;\ 1{,}5). En a) y b) se tipifica con Z=X−μσZ = \frac{X - \mu}{\sigma}, se redondea zz a dos decimales y se busca en la tabla de la N(0,1)N(0, 1), que da P(Z≤z)P(Z \le z) para z≥0z \ge 0; los valores negativos se arreglan con la simetría. En b) el número de viajeros esperado es 10001000 por la probabilidad.

El apartado c) es el problema inverso: conocemos la probabilidad de la cola derecha (0,100{,}10) y buscamos el valor kk que la deja. Se busca en el interior de la tabla el zz con P(Z≤z)=0,90P(Z \le z) = 0{,}90 y se deshace la tipificación.
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Desarrollo

Sea XX = "tiempo de estancia, en días, de un viajero", con X∼N(μ=3,7; σ=1,5)X \sim N(\mu = 3{,}7;\ \sigma = 1{,}5), y Z∼N(0,1)Z \sim N(0, 1).

a) Tipificamos los dos extremos:z1=2−3,71,5=−1,71,5≈−1,13,z2=5−3,71,5=1,31,5≈0,87z_1 = \frac{2 - 3{,}7}{1{,}5} = \frac{-1{,}7}{1{,}5} \approx -1{,}13, \qquad z_2 = \frac{5 - 3{,}7}{1{,}5} = \frac{1{,}3}{1{,}5} \approx 0{,}87P(2≤X≤5)=P(−1,13≤Z≤0,87)=P(Z≤0,87)−P(Z<−1,13)P(2 \le X \le 5) = P(-1{,}13 \le Z \le 0{,}87) = P(Z \le 0{,}87) - P(Z < -1{,}13)Por la simetría de la normal, P(Z<−1,13)=1−P(Z≤1,13)P(Z < -1{,}13) = 1 - P(Z \le 1{,}13). De la tabla, P(Z≤0,87)=0,8078P(Z \le 0{,}87) = 0{,}8078 y P(Z≤1,13)=0,8708P(Z \le 1{,}13) = 0{,}8708:P(2≤X≤5)=0,8078−(1−0,8708)=0,8078−0,1292=0,6786P(2 \le X \le 5) = 0{,}8078 - (1 - 0{,}8708) = 0{,}8078 - 0{,}1292 = 0{,}6786
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b) Probabilidad de que un viajero esté más de 77 días:z=7−3,71,5=3,31,5=2,2z = \frac{7 - 3{,}7}{1{,}5} = \frac{3{,}3}{1{,}5} = 2{,}2P(X>7)=P(Z>2,20)=1−P(Z≤2,20)=1−0,9861=0,0139P(X > 7) = P(Z > 2{,}20) = 1 - P(Z \le 2{,}20) = 1 - 0{,}9861 = 0{,}0139De 10001000 viajeros, el número esperado que pasa más de 77 días en el hotel es1000⋅0,0139=13,9≈14 viajeros1000 \cdot 0{,}0139 = 13{,}9 \approx 14\ \text{viajeros}c) Buscamos el número de días kk tal que solo el 10 %10\ \% de los viajeros lo supere:P(X>k)=0,10  ⟺  P(X≤k)=0,90  ⟺  P ⁣(Z≤k−3,71,5)=0,90P(X > k) = 0{,}10 \iff P(X \le k) = 0{,}90 \iff P\!\left(Z \le \frac{k - 3{,}7}{1{,}5}\right) = 0{,}90En el interior de la tabla, 0,900{,}90 no aparece exacto: está entre P(Z≤1,28)=0,8997P(Z \le 1{,}28) = 0{,}8997 y P(Z≤1,29)=0,9015P(Z \le 1{,}29) = 0{,}9015, y el más cercano es 0,89970{,}8997. Tomamos z=1,28z = 1{,}28:k−3,71,5=1,28  ⟹  k=3,7+1,28⋅1,5=3,7+1,92=5,62 dıˊas\frac{k - 3{,}7}{1{,}5} = 1{,}28 \;\Longrightarrow\; k = 3{,}7 + 1{,}28 \cdot 1{,}5 = 3{,}7 + 1{,}92 = 5{,}62\ \text{días}El descuento se podrá aplicar a los viajeros que permanezcan más de 5,625{,}62 días. Si la estancia se cuenta en días completos, a partir de 6 días: con 55 días se pasaría del presupuesto, porque P(X>5)=1−0,8078=0,1922P(X > 5) = 1 - 0{,}8078 = 0{,}1922, casi el doble del 10 %10\ \%.

Comprobación de sentido. El umbral está por encima de la media, como debe ser para una cola derecha pequeña, y a 1,281{,}28 desviaciones típicas de ella, la cifra que deja el 10 %10\ \% en cualquier normal.
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Consejo

En c) se busca al revés: la probabilidad está dentro de la tabla y lo que sale es zz. Fíjate en la cola: «solo el 10 % de los que más días están» es P(X>k)=0,10P(X > k) = 0{,}10, así que en la tabla se busca 0,900{,}90, no 0,100{,}10.

En b), el resultado es un número de viajeros: multiplica la probabilidad por 10001000 y redondea a un número entero, explicando que es un valor esperado.
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