Vectores y ángulos

a) Producto escalar:$$\vec u \cdot \vec v = 0 \cdot 12 + 3 \cdot 4 + (-4) \cdot 3 = 0 + 12 - 12 = 0$$Como el producto escalar es nulo (y ninguno de los dos vectores es el vector cero), $\vec u$ y $\vec v$ son perpendiculares: el paralelogramo que forman tiene los ángulos rectos, así que es un rectángulo.

Sus lados miden$$|\vec u| = \sqrt{0^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5, \qquad |\vec v| = \sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{169} = 13$$y el área del rectángulo es$$\text{Área} = |\vec u|\,|\vec v| = 5 \cdot 13 = 65\ \text{u}^2$$(Coincide con $|\vec u \times \vec v| = 65$, que calculamos en b): para dos vectores perpendiculares, $|\vec u \times \vec v| = |\vec u|\,|\vec v|\,\operatorname{sen} 90^\circ = |\vec u|\,|\vec v|$.)

b) Un punto $X(x, y, z)$ está en el plano cuando $\overrightarrow{PX} = (x - 1,\ y,\ z)$, con $P(1, 0, 0)$, es combinación lineal de $\vec u$ y $\vec v$, es decir, cuando$$\begin{vmatrix} x - 1 & y & z \\ 0 & 3 & -4 \\ 12 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 0$$Desarrollando por la primera fila:$$(x - 1)(9 + 16) - y\,(0 + 48) + z\,(0 - 36) = 0 \;\Longrightarrow\; 25(x - 1) - 48y - 36z = 0$$$$\pi:\ 25x - 48y - 36z - 25 = 0$$Los coeficientes son las componentes del producto vectorial:$$\vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 3 & -4 \\ 12 & 4 & 3 \end{vmatrix} = (9 + 16)\,\vec i - (0 + 48)\,\vec j + (0 - 36)\,\vec k = (25,\ -48,\ -36)$$Comprobación. $P(1, 0, 0)$: $25 - 0 - 0 - 25 = 0$ ✓. El normal es perpendicular a los dos vectores: $(25, -48, -36) \cdot (0, 3, -4) = -144 + 144 = 0$ ✓ y $(25, -48, -36) \cdot (12, 4, 3) = 300 - 192 - 108 = 0$ ✓.

c) El vector $\vec w = \vec u \times \vec v = (25, -48, -36)$ es perpendicular a $\vec u$ y a $\vec v$. Su módulo:$$|\vec w| = \sqrt{25^2 + 48^2 + 36^2} = \sqrt{625 + 2304 + 1296} = \sqrt{4225} = 65$$Para que mida $13$ lo multiplicamos por $\frac{13}{65} = \frac{1}{5}$:$$\frac{13}{65}\,\vec w = \frac{1}{5}\,(25,\ -48,\ -36) = \left(5,\ -\frac{48}{5},\ -\frac{36}{5}\right)$$El opuesto, $\left(-5,\ \frac{48}{5},\ \frac{36}{5}\right)$, también vale: hay dos soluciones, una en cada sentido.

Comprobación. $\left|\left(5, -\frac{48}{5}, -\frac{36}{5}\right)\right| = \sqrt{25 + \frac{2304}{25} + \frac{1296}{25}} = \sqrt{25 + \frac{3600}{25}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ ✓.