Vectores y ángulos

Vectores con origen en $A(1, 0, 2)$:$$\vec{AB} = (0,\ m,\ 4), \qquad \vec{AC} = (1,\ 1,\ 2), \qquad \vec{AD} = (3,\ 3,\ 0)$$a) Los cuatro puntos son coplanarios si y solo si $\left[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\right] = 0$:$$\left[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\right] = \begin{vmatrix} 0 & m & 4 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 0\cdot(0 - 6) - m\cdot(0 - 6) + 4\cdot(3 - 3) = 6m$$$$6m = 0 \iff m = 0$$Los cuatro puntos son coplanarios solo para $m = 0$ (para cualquier otro valor, determinan un tetraedro).

b) El plano $ACD$ pasa por $A$ y tiene como vectores directores $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$ (no paralelos). Un vector normal es$$\vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 6)\,\vec i - (0 - 6)\,\vec j + (3 - 3)\,\vec k = (-6,\ 6,\ 0)$$Tomamos el proporcional $\vec n = (1, -1, 0)$. El plano es $x - y + d = 0$ y, como pasa por $A(1, 0, 2)$, $1 - 0 + d = 0$, así que $d = -1$:$$x - y - 1 = 0$$Comprobación. $C(2, 1, 4)$: $2 - 1 - 1 = 0$ ✓. $D(4, 3, 2)$: $4 - 3 - 1 = 0$ ✓. Y con $m = 0$, $B(1, 0, 6)$: $1 - 0 - 1 = 0$ ✓, coherente con a).

c) Con $m = 2$, $\vec{AB} = (0, 2, 4)$. Un vector perpendicular al plano $ABC$ es$$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (4 - 4)\,\vec i - (0 - 4)\,\vec j + (0 - 2)\,\vec k = (0,\ 4,\ -2)$$Su módulo es$$\left|\vec{AB} \times \vec{AC}\right| = \sqrt{0^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt5$$Para que tenga módulo 4, lo dividimos por su módulo (vector unitario) y multiplicamos por 4:$$\vec w = \frac{4}{2\sqrt5}\,(0, 4, -2) = \frac{2}{\sqrt5}\,(0, 4, -2) = \left(0,\ \frac{8}{\sqrt5},\ -\frac{4}{\sqrt5}\right) = \left(0,\ \frac{8\sqrt5}{5},\ -\frac{4\sqrt5}{5}\right)$$(también vale el opuesto, $-\vec w$).

Comprobación. $|\vec w| = \sqrt{\frac{64}{5} + \frac{16}{5}} = \sqrt{16} = 4$ ✓; $\vec w \cdot \vec{AB} = \frac{2}{\sqrt5}(0 + 8 - 8) = 0$ ✓ y $\vec w \cdot \vec{AC} = \frac{2}{\sqrt5}(0 + 4 - 4) = 0$ ✓.

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial (que es el área del paralelogramo de lados $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$):$$\text{Área}(ABC) = \frac{1}{2}\left|\vec{AB} \times \vec{AC}\right| = \frac{2\sqrt5}{2} = \sqrt5 \approx 2{,}24\ \text{u}^2$$