Vectores y ángulos

a) $\vec t \perp \vec u \iff \vec t \cdot \vec u = 0$:$$\vec t \cdot \vec u = 1\cdot 3 + a\cdot(-1) + 0\cdot 5 = 3 - a = 0 \iff a = 3$$Comprobación: $(1, 3, 0)\cdot(3, -1, 5) = 3 - 3 + 0 = 0$ ✓.

b) El producto vectorial de $\vec u$ y $\vec v$ es perpendicular a ambos:$$\vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 3 & -1 & 5 \\ 2 & 6 & 0 \end{vmatrix} = \vec i\,(0 - 30) - \vec j\,(0 - 10) + \vec k\,(18 + 2) = (-30, 10, 20)$$Podemos dividir entre $10$ y tomar$$\vec w = (-3, 1, 2)$$(o cualquier múltiplo $k\,(-3, 1, 2)$ con $k \neq 0$).

Comprobación: $\vec w \cdot \vec u = -9 - 1 + 10 = 0$ ✓ y $\vec w \cdot \vec v = -6 + 6 + 0 = 0$ ✓.

Es justo el vector $\vec w$ que da el apartado c).

c) El volumen del paralelepípedo de aristas $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ es el valor absoluto del producto mixto:$$[\vec u, \vec v, \vec w] = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 2 & 6 & 0 \\ -3 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$Desarrollando por la segunda fila (tiene un cero):$$= -2\begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 6\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} - 0 = -2\,(-2 - 5) + 6\,(6 + 15) = 14 + 126 = 140$$$$V = \left|[\vec u, \vec v, \vec w]\right| = 140 \ \text{u}^3$$Comprobación. Como $[\vec u, \vec v, \vec w] = (\vec u \times \vec v)\cdot \vec w$ y ya tenemos $\vec u \times \vec v = (-30, 10, 20)$ del apartado b): $(-30)(-3) + 10\cdot 1 + 20\cdot 2 = 90 + 10 + 40 = 140$ ✓. Tiene sentido que sea grande: $\vec w$ es perpendicular a la base, así que el volumen es el área de la base, $|\vec u \times \vec v| = 10\sqrt{14}$, por la altura, $|\vec w| = \sqrt{14}$: $10 \cdot 14 = 140$.