Vectores y ángulos

$$\overrightarrow{AB} = B - A = (1, 1, 1), \qquad \overrightarrow{AC} = C - A = (2, 2, 0)$$a) Si estuvieran alineados, $\overrightarrow{AC}$ sería un múltiplo de $\overrightarrow{AB}$, es decir, las razones de sus coordenadas coincidirían:$$\frac{2}{1} = \frac{2}{1} \neq \frac{0}{1}$$No son proporcionales (la tercera coordenada lo impide), así que $A$, $B$ y $C$ no están alineados: determinan un triángulo (y un plano). Equivalentemente, el rango de la matriz con filas $(1, 1, 1)$ y $(2, 2, 0)$ es 2, porque $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$.

b) El producto vectorial es ortogonal a los dos vectores:$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 2)\,\vec{i} - (0 - 2)\,\vec{j} + (2 - 2)\,\vec{k} = (-2, 2, 0)$$Su módulo es $\sqrt{4 + 4 + 0} = 2\sqrt{2}$. Para que tenga módulo $\sqrt{2}$ lo multiplicamos por $\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$:$$\vec{w} = \frac{1}{2}(-2, 2, 0) = (-1, 1, 0) \qquad (\text{o su opuesto } (1, -1, 0))$$Comprobación. $\vec{w}\cdot\overrightarrow{AB} = -1 + 1 + 0 = 0$ ✓, $\vec{w}\cdot\overrightarrow{AC} = -2 + 2 + 0 = 0$ ✓ y $|\vec{w}| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$ ✓.

c) Sea $A' = (x, y, z)$ el simétrico. Como $B$ es el punto medio de $A$ y $A'$:$$B = \frac{A + A'}{2} \;\Longrightarrow\; A' = 2B - A = (4 - 1,\ 6 - 2,\ 8 - 3) = (3, 4, 5)$$Comprobación. El punto medio de $(1, 2, 3)$ y $(3, 4, 5)$ es $\left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{2 + 4}{2}, \frac{3 + 5}{2}\right) = (2, 3, 4) = B$ ✓.