Rectas y planos

a) El vector normal del plano es$$\overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 1,\ -1 - 3,\ 2 - (-2)) = (2,\ -4,\ 4)$$y podemos tomar el proporcional $\vec n = (1, -2, 2)$. El punto que divide $AB$ en dos partes iguales es el punto medio:$$M = \left(\frac{1 + 3}{2},\ \frac{3 + (-1)}{2},\ \frac{-2 + 2}{2}\right) = (2,\ 1,\ 0)$$Ecuación del plano que pasa por $M$ con normal $\vec n$:$$1\,(x - 2) - 2\,(y - 1) + 2\,(z - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; x - 2y + 2z = 0$$Comprobación. $M$ cumple $2 - 2 + 0 = 0$ ✓. Además, es el plano mediador de $AB$: $A$ y $B$ quedan a la misma distancia, $\frac{|1 - 6 - 4|}{3} = 3$ y $\frac{|3 + 2 + 4|}{3} = 3$, a lados opuestos (uno da $-9$ y el otro $+9$).

b) La distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ al plano $ax + by + cz + d = 0$ es$$d(P, \pi) = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$Con $A(1, 3, -2)$ y $\pi:\ 2x - y + 2z - 4 = 0$:$$d(A, \pi) = \frac{|2 \cdot 1 - 3 + 2 \cdot (-2) - 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 - 3 - 4 - 4|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3\ \text{u}$$c) Un plano paralelo a $\pi$ tiene su mismo vector normal $(2, -1, 2)$, así que es de la forma$$\pi':\ 2x - y + 2z + D = 0$$Imponemos que pase por $B(3, -1, 2)$:$$2 \cdot 3 - (-1) + 2 \cdot 2 + D = 0 \;\Longrightarrow\; 6 + 1 + 4 + D = 0 \;\Longrightarrow\; D = -11$$$$\pi':\ 2x - y + 2z - 11 = 0$$Comprobación. $B$: $6 + 1 + 4 - 11 = 0$ ✓. Los coeficientes de $x$, $y$, $z$ coinciden con los de $\pi$ pero el término independiente no ($-11 \neq -4$): son paralelos y distintos ✓.