Integrales

a) Factorizamos el denominador:$$g(x) = x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$$Buscamos $A$, $B$ y $C$ tales que$$\frac{8 - 8x}{x(x - 2)(x + 2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x + 2}$$Quitando denominadores:$$8 - 8x = A(x - 2)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x - 2)$$Damos a $x$ los valores de las raíces:

• $x = 0$: $\ 8 = -4A \;\Longrightarrow\; A = -2$
• $x = 2$: $\ -8 = 8B \;\Longrightarrow\; B = -1$
• $x = -2$: $\ 24 = 8C \;\Longrightarrow\; C = 3$

Por tanto$$\int \frac{8 - 8x}{x^3 - 4x}\,dx = \int \left(\frac{-2}{x} - \frac{1}{x - 2} + \frac{3}{x + 2}\right)dx = -2\ln|x| - \ln|x - 2| + 3\ln|x + 2| + C$$que también se puede escribir como $\ln\dfrac{|x + 2|^3}{x^2\,|x - 2|} + C$.

Comprobación. Derivando: $-\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{3}{x + 2}$, y reduciendo a común denominador,$$\frac{-2(x^2 - 4) - x(x + 2) + 3x(x - 2)}{x(x - 2)(x + 2)} = \frac{-2x^2 + 8 - x^2 - 2x + 3x^2 - 6x}{x^3 - 4x} = \frac{8 - 8x}{x^3 - 4x}$$que es el integrando ✓.

b) Cortes de $g$ con el eje $X$:$$x^3 - 4x = 0 \iff x(x - 2)(x + 2) = 0 \iff x = -2,\ x = 0,\ x = 2$$El recinto va de $x = -2$ a $x = 2$ y se parte en dos tramos. Signo de $g$ en cada uno: $g(-1) = -1 + 4 = 3 > 0$ y $g(1) = 1 - 4 = -3 < 0$. Así que en $(-2, 0)$ la gráfica va por encima del eje y en $(0, 2)$ por debajo.

Una primitiva de $g$ es $G(x) = \dfrac{x^4}{4} - 2x^2$. Por la regla de Barrow:$$\int_{-2}^{0} (x^3 - 4x)\,dx = G(0) - G(-2) = 0 - (4 - 8) = 4$$$$\int_{0}^{2} (x^3 - 4x)\,dx = G(2) - G(0) = (4 - 8) - 0 = -4$$El área es la suma de los valores absolutos:$$\text{Área} = |4| + |-4| = 8\ \text{u}^2$$Comprobación de sentido. $g$ es impar ($g(-x) = -g(x)$): su gráfica es simétrica respecto del origen, así que los dos lóbulos son iguales y cada uno mide $4$. Por eso $\displaystyle\int_{-2}^{2} g(x)\,dx = 0$, que no es el área: integrar de golpe entre $-2$ y $2$ daría un área nula.