Matemáticas IIMedio2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Límites y continuidad

Extremadura · 2026 · Junio

Enunciado

Dada la función

f(x) = \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 2}

a) (1 punto) Estudiar y obtener las asíntotas de la función

f

.

b) (1 punto) Determinar los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

f(x)

.

c) (0,5 puntos) Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de

f(x)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \text{A.V.: } x = 2;\ \text{sin A.H.};\ \text{A.O.: } y = x}

\boxed{\text{b)}\ \text{crece en } (-\infty, 0) \cup (4, +\infty);\ \text{decrece en } (0, 2) \cup (2, 4);\ \text{máx. } (0, -2),\ \text{mín. } (4, 6)}

\boxed{\text{c)}\ \text{dos ramas separadas por } x = 2,\ \text{sin cortes con } OX}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una función racional: su dominio es

\mathbb{R}

menos la raíz del denominador, que es la candidata a asíntota vertical. Como el numerador tiene un grado más que el denominador, no hay asíntota horizontal sino oblicua; la división

x^2 - 2x + 4 = (x - 2)\,x + 4

la da de inmediato.

En b) derivamos con la regla del cociente, buscamos dónde se anula

f'

y estudiamos su signo a ambos lados de esos puntos y de $x = 2$ , que también separa intervalos aunque no esté en el dominio. En c) juntamos asíntotas, extremos, cortes con los ejes y la posición respecto de la oblicua.

Desarrollo

Dominio. El denominador se anula en

x = 2

, así que

\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}

. Dividiendo el numerador entre el denominador:

f(x) = \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 2} = x + \frac{4}{x - 2}

a) Asíntota vertical. En

x = 2

el numerador vale

4 - 4 + 4 = 4 \neq 0

y el denominador

0

. Los límites laterales:

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \frac{4}{0^-} = -\infty, \qquad \lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{4}{0^+} = +\infty

Luego

x = 2

es asíntota vertical.

Asíntota horizontal. El numerador es de grado 2 y el denominador de grado 1:

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 2} = \pm\infty

así que no hay asíntota horizontal.

Asíntota oblicua

y = mx + n

m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 2x + 4}{x^2 - 2x} = 1

n = \lim_{x \to \pm\infty} \bigl(f(x) - x\bigr) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 2x + 4 - x^2 + 2x}{x - 2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{x - 2} = 0

La recta

y = x

es asíntota oblicua (en

+\infty

y en

-\infty

). Como

f(x) - x = \dfrac{4}{x - 2}

, la gráfica va por debajo de la asíntota si

x < 2

y por encima si

x > 2

.

b) Por la regla del cociente:

f'(x) = \frac{(2x - 2)(x - 2) - (x^2 - 2x + 4)\cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 6x + 4 - x^2 + 2x - 4}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x}{(x - 2)^2} = \frac{x(x - 4)}{(x - 2)^2}

f'(x) = 0 \iff x(x - 4) = 0 \iff x = 0 \ \text{o}\ x = 4

El denominador

(x - 2)^2

es positivo en todo el dominio, así que el signo de

f'

es el de

x(x - 4)

. Estudiamos los intervalos que delimitan

0

2

(fuera del dominio) y

4

	$(-\infty, 0)$	$(0, 2)$	$(2, 4)$	$(4, +\infty)$
Signo de $f'$	$+$	$-$	$-$	$+$
$f$	crece	decrece	decrece	crece

(Por ejemplo,

f'(-1) = \frac{5}{9} > 0

f'(1) = -3 < 0

f'(3) = -3 < 0

f'(5) = \frac{5}{9} > 0

Crece en $(-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$ y decrece en $(0, 2) \cup (2, 4)$ .
En $x = 0$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo en $(0, f(0)) = (0, -2)$ , porque $f(0) = \frac{4}{-2} = -2$ .
En $x = 4$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo en $(4, f(4)) = (4, 6)$ , porque $f(4) = \frac{16 - 8 + 4}{2} = 6$ .

Llama la atención que el máximo (

-2

) esté por debajo del mínimo (

6

): no es contradictorio, porque están en ramas distintas, separadas por la asíntota vertical.

c) Reunimos los datos:

Cortes con los ejes. Con el eje $OY$ : $f(0) = -2$ , el punto $(0, -2)$ , que es el máximo. Con el eje $OX$ : $x^2 - 2x + 4 = 0$ tiene discriminante $4 - 16 = -12 < 0$ , así que no corta al eje $OX$ .
Asíntotas: vertical $x = 2$ (la gráfica baja a $-\infty$ por la izquierda y sube a $+\infty$ por la derecha) y oblicua $y = x$ (por debajo a la izquierda de $x = 2$ , por encima a la derecha).
Extremos: máximo $(0, -2)$ y mínimo $(4, 6)$ . Algunos puntos más: $f(-2) = -3$ , $f(1) = -3$ , $f(3) = 7$ , $f(6) = 7$ .

La gráfica tiene dos ramas, como una hipérbola inclinada. La rama izquierda (

x < 2

) viene desde

-\infty

pegada por debajo a la recta

y = x

, sube hasta el máximo

(0, -2)

y luego cae hacia

-\infty

al acercarse a

x = 2

. La rama derecha (

x > 2

) baja desde

+\infty

junto a

x = 2

, llega al mínimo

(4, 6)

y vuelve a subir acercándose por encima a

y = x

. Es simétrica respecto del punto

(2, 2)

, donde se cortan las dos asíntotas.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al estudiar el signo de $f'$ , mete en la tabla también el punto que no está en el dominio ( $x = 2$ ): separa intervalos aunque no pueda ser extremo. Y no escribas que $f$ decrece en $(0, 4)$ : decrece en $(0, 2) \cup (2, 4)$ .

Hacer la división al principio ( $f(x) = x + \frac{4}{x-2}$ ) te regala la asíntota oblicua y la posición de la gráfica respecto de ella, que es justo lo que pide el dibujo de c).