Matemáticas IIFácil2,5 pts

Matrices

Extremadura · 2026 · Junio

Enunciado

Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

a) (1,25 puntos) Resolver la ecuación matricial

A \cdot X = B^t - 2X

, donde

B^t

es la traspuesta de la matriz

B

.

b) (1,25 puntos) Resolver el sistema matricial de ecuaciones:

2X + 3Y = A

X - 2Y = B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ X = \begin{pmatrix} \frac{5}{3} & -\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}}

\boxed{\text{b)}\ X = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} -7 & -3 \\ 1 & 10 \end{pmatrix},\quad Y = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 0 & 9 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) la incógnita aparece en los dos miembros: se pasan los términos con

X

al mismo lado y se saca $X$ factor común por la derecha, escribiendo

2X = 2I\,X

. Queda

(A + 2I)\,X = B^t

; si

A + 2I

tiene inversa, se multiplica por ella por la izquierda.

En b) las matrices se tratan como incógnitas de un sistema lineal corriente: se elimina

X

por reducción (como con números) y se despeja

Y

, y después

X

Desarrollo

a) Pasamos

-2X

al primer miembro y sacamos factor común:

AX + 2X = B^t \;\Longrightarrow\; (A + 2I)\,X = B^t

Llamamos

C = A + 2I

C = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}, \qquad |C| = 0 \cdot 4 - 3 \cdot (-1) = 3 \neq 0

Como

|C| \neq 0

C

tiene inversa y

X = C^{-1} B^t

. La inversa de una matriz

2 \times 2

se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo entre el determinante:

C^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

La traspuesta de

B

cambia filas por columnas:

B^t = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}

X = C^{-1} B^t = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -4 + 9 & 4 - 6 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{3} & -\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}

Comprobación.

C X = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{5}{3} & -\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -\frac{5}{3} - \frac{4}{3} & \frac{2}{3} + \frac{4}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = B^t

✓

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) El sistema es

\left\{\begin{array}{l} 2X + 3Y = A \\ X - 2Y = B \end{array}\right.

Multiplicamos la segunda ecuación por

2

y la restamos de la primera para eliminar

X

(2X + 3Y) - (2X - 4Y) = A - 2B \;\Longrightarrow\; 7Y = A - 2B

A - 2B = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & -6 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 9 \\ -3 & -2 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; Y = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 0 & 9 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}

De la segunda ecuación,

X = B + 2Y

X = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 0 & 18 \\ -6 & -4 \end{pmatrix} = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} -7 & -21 + 18 \\ 7 - 6 & 14 - 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} -7 & -3 \\ 1 & 10 \end{pmatrix}

Comprobación.

2X + 3Y = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} -14 & -6 \\ 2 & 20 \end{pmatrix} + \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 0 & 27 \\ -9 & -6 \end{pmatrix} = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} -14 & 21 \\ -7 & 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = A

La primera ecuación se cumple ✓, y la segunda,

X - 2Y = B

, también, por cómo hemos despejado

X

Consejo

El error típico de a) es escribir $(A + 2)\,X$ : no se puede sumar un número a una matriz. Hay que poner $2X = 2I\,X$ y sacar $X$ por la derecha, para que quede $(A + 2I)\,X$ .

Y como $X$ queda a la derecha, la inversa se multiplica por la izquierda: $X = C^{-1}B^t$ , no $B^t C^{-1}$ . El producto de matrices no es conmutativo y el resultado sería otro.