Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k \\ k & k-1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & k & k \\ k & k-1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$Para calcular $|A|$ restamos a la primera fila la tercera ($F_1 - F_3$), lo que no cambia el determinante, y desarrollamos por esa fila:$$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & k-1 \\ k & k-1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (k-1)\begin{vmatrix} k & k-1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (k-1)\bigl(k - (k-1)\bigr) = k - 1$$$$|A| = 0 \iff k = 1$$Caso $k \neq 1$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $k = 1$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ x + z = 2 \\ x + y + z = 1 \end{array}\right.$$La primera y la tercera ecuación son iguales. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$ (filas 1 y 2, columnas de $x$ e $y$) junto con $|A| = 0$ da $\operatorname{rg}(A) = 2$. En la ampliada, la tercera fila $(1, 1, 1 \mid 1)$ coincide con la primera, así que todos sus menores de orden 3 tienen dos filas iguales y valen $0$: $\operatorname{rg}(A^*) = 2$.

Como $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro). Tomando $z = \lambda$, la segunda da $x = 2 - \lambda$ y la primera $y = 1 - x - z = -1$:$$(x, y, z) = (2 - \lambda,\ -1,\ \lambda), \quad \lambda \in \mathbb{R}$$No hay ningún valor de $k$ para el que el sistema sea incompatible.

b) Con $k = 2$ (que no es el valor crítico, luego hay solución única):$$\left\{\begin{array}{l} x + y + 2z = 2 \\ 2x + y + z = 2 \\ x + y + z = 1 \end{array}\right.$$Restando la tercera ecuación a la primera: $z = 1$. Restando la tercera a la segunda: $x = 1$. Y de la tercera, $y = 1 - x - z = -1$.$$x = 1, \qquad y = -1, \qquad z = 1$$Comprobación. Primera: $1 - 1 + 2 = 2$ ✓. Segunda: $2 - 1 + 1 = 2$ ✓. Tercera: $1 - 1 + 1 = 1$ ✓.

(Curiosidad: $(1, -1, 1)$ es la solución para cualquier $k \neq 1$, porque $1 - 1 + k = k$, $k - (k - 1) + 1 = 2$ y $1 - 1 + 1 = 1$. Para $k = 1$ también es una de las infinitas soluciones, la de $\lambda = 1$.)