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Probabilidad

Extremadura · 2026 · Julio

Enunciado

El pasado mes de diciembre falleció el cantante extremeño Roberto Iniesta (Robe), considerado uno de los grandes iconos de la música española. Robe publicó, entre otros, 12 discos con su grupo Extremoduro y 4 discos en solitario. Nos hemos encontrado con un fan que nos ha dicho que se sabe el 70 % de las canciones de Extremoduro y el 80 % de las canciones de su etapa en solitario. Si ponemos una canción de uno de los discos de Robe:

a) (1 punto) ¿Qué probabilidad hay de que ese fan se sepa la canción?

b) (0,5 puntos) Si nos ha dicho que se sabe la canción que está sonando, ¿qué probabilidad hay de que la canción sea de la etapa de Extremoduro?

c) (1 punto) ¿Qué probabilidad hay de que la canción sea de su etapa en solitario o no la sepa?

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(K) = 0{,}725}

\boxed{\text{b)}\ P(E \mid K) = \frac{21}{29} \approx 0{,}7241}

\boxed{\text{c)}\ P(S \cup \overline{K}) = 0{,}475}

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Estrategia

Es un experimento en dos etapas: primero de qué etapa es la canción (Extremoduro o solitario) y después si el fan se la sabe o no. Lo ordenamos en un diagrama de árbol. Elegimos un disco al azar entre los 16, así que la probabilidad de cada etapa es la proporción de discos (suponemos, como es habitual, que todos los discos pesan igual).

En a) sumamos las ramas que acaban en «se la sabe» (probabilidad total); en b) invertimos la condición con el teorema de Bayes; en c) aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión, o, más rápido, el suceso contrario.

Desarrollo

Sucesos:

E

= «la canción es de Extremoduro»,

S

= «la canción es de su etapa en solitario» y

K

= «el fan se sabe la canción».

E

S

forman un sistema completo de sucesos:

P(E) = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0{,}75, \qquad P(S) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0{,}25

P(K \mid E) = 0{,}7, \quad P(\overline{K} \mid E) = 0{,}3, \qquad P(K \mid S) = 0{,}8, \quad P(\overline{K} \mid S) = 0{,}2

Diagrama de árbol:

$E$ ( $0{,}75$ ) → $K$ ( $0{,}7$ ): $P(E \cap K) = 0{,}75\cdot 0{,}7 = 0{,}525$
$E$ ( $0{,}75$ ) → $\overline{K}$ ( $0{,}3$ ): $P(E \cap \overline{K}) = 0{,}75\cdot 0{,}3 = 0{,}225$
$S$ ( $0{,}25$ ) → $K$ ( $0{,}8$ ): $P(S \cap K) = 0{,}25\cdot 0{,}8 = 0{,}2$
$S$ ( $0{,}25$ ) → $\overline{K}$ ( $0{,}2$ ): $P(S \cap \overline{K}) = 0{,}25\cdot 0{,}2 = 0{,}05$

(Las cuatro ramas suman

0{,}525 + 0{,}225 + 0{,}2 + 0{,}05 = 1

✓).

a) Por el teorema de la probabilidad total:

P(K) = P(E)\,P(K \mid E) + P(S)\,P(K \mid S) = 0{,}75\cdot 0{,}7 + 0{,}25\cdot 0{,}8 = 0{,}525 + 0{,}2 = 0{,}725

b) Por el teorema de Bayes:

P(E \mid K) = \frac{P(E \cap K)}{P(K)} = \frac{0{,}525}{0{,}725} = \frac{21}{29} \approx 0{,}7241

c) Piden

P(S \cup \overline{K})

. Con la fórmula de la unión, usando

P(\overline{K}) = 1 - 0{,}725 = 0{,}275

P(S \cup \overline{K}) = P(S) + P(\overline{K}) - P(S \cap \overline{K}) = 0{,}25 + 0{,}275 - 0{,}05 = 0{,}475

Comprobación por el suceso contrario: lo contrario de «es de solitario o no la sabe» es «es de Extremoduro y la sabe», así que

P(S \cup \overline{K}) = 1 - P(E \cap K) = 1 - 0{,}525 = 0{,}475 \ \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b) el denominador es $P(K)$ , la probabilidad total del apartado a), y no $P(E)$ : la condición («se la sabe») es lo que va detrás de la barra y lo que va abajo.

En c) la «o» es una unión, no una suma: si sumas $P(S) + P(\overline{K})$ sin restar la intersección, cuentas dos veces las canciones de solitario que no se sabe. Pensar en el contrario ( $E \cap K$ ) es el camino más corto y sirve de comprobación.