Matemáticas IIMedio2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Extremadura · 2026 · Julio

Enunciado

Dados los planos

\pi_1:\ x + ky - 3z - 6 = 0

\pi_2:\ 2x - y - 5 = 0

y el punto

A(2, 3, -4)

:

a) (0,5 puntos) Calcula el valor de

k

para que los planos

\pi_1

\pi_2

sean perpendiculares.

b) (1,5 puntos) Para

k = 2

, calcula el simétrico del punto

A

respecto del plano

\pi_1

.

c) (0,5 puntos) Para

k = 2

, calcula la distancia del punto

A

al plano

\pi_1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ k = 2}

\boxed{\text{b)}\ A' = (0, -1, 2)}

\boxed{\text{c)}\ d(A, \pi_1) = \sqrt{14} \approx 3{,}742\ \text{u}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos planos son perpendiculares cuando lo son sus vectores normales, es decir, cuando su producto escalar es cero. Para el simétrico de

A

respecto de

\pi_1

trazamos la recta que pasa por

A

perpendicular al plano (con el vector normal como director), la cortamos con el plano para obtener la proyección

M

y usamos que

M

es el punto medio entre

A

y su simétrico

A'

. La distancia de c) sale de la fórmula de la distancia de un punto a un plano, y se puede contrastar con la longitud

|\overrightarrow{AM}|

Desarrollo

a) Vectores normales:

\vec{n}_1 = (1, k, -3)

\vec{n}_2 = (2, -1, 0)

\pi_1 \perp \pi_2 \iff \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 \iff 1\cdot 2 + k\cdot(-1) + (-3)\cdot 0 = 2 - k = 0 \iff k = 2

b) Con

k = 2

\pi_1:\ x + 2y - 3z - 6 = 0

\vec{n}_1 = (1, 2, -3)

. La recta perpendicular a

\pi_1

por

A(2, 3, -4)

s:\ \left\{\begin{array}{l} x = 2 + \lambda \\ y = 3 + 2\lambda \\ z = -4 - 3\lambda \end{array}\right. \qquad \lambda \in \mathbb{R}

La cortamos con

\pi_1

sustituyendo:

(2 + \lambda) + 2(3 + 2\lambda) - 3(-4 - 3\lambda) - 6 = 0 \iff 14 + 14\lambda = 0 \iff \lambda = -1

El punto de corte (proyección ortogonal de

A

sobre

\pi_1

) es

M = (2 - 1,\ 3 - 2,\ -4 + 3) = (1, 1, -1)

Comprobación:

1 + 2 + 3 - 6 = 0

, así que

M \in \pi_1

✓.

M

es el punto medio de

A

y su simétrico

A'(x', y', z')

\left(\frac{2 + x'}{2},\ \frac{3 + y'}{2},\ \frac{-4 + z'}{2}\right) = (1, 1, -1) \;\Longrightarrow\; A' = 2M - A = (0, -1, 2)

(Se obtiene también con

\lambda = -2

en la recta

s

: el doble del parámetro de

M

).

c) Con la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

d(A, \pi_1) = \frac{|2 + 2\cdot 3 - 3\cdot(-4) - 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2}} = \frac{|14|}{\sqrt{14}} = \sqrt{14} \approx 3{,}742\ \text{u}

Comprobación:

\overrightarrow{AM} = (-1, -2, 3)

|\overrightarrow{AM}| = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}

✓; y

d(A, A') = 2\sqrt{14}

, el doble, como debe ser.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error más frecuente en el simétrico es quedarse en la proyección $M$ y darla como respuesta. $M$ es solo el punto medio: el simétrico es $A' = 2M - A$ .

No confundas planos perpendiculares con planos paralelos: perpendiculares significa normales perpendiculares (producto escalar cero); paralelos, normales proporcionales.