Matemáticas IIMedio2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Extremadura · 2026 · Julio

Enunciado

Dados los puntos

A(4, 3, 3)

B(3, 3, 4)

C(1, 0, 4)

D(4, 0, 1)

,

a) (1 punto) Justifica de forma razonada que los puntos

A

B

C

D

están en el mismo plano y halla la ecuación del plano que determinan.

b) (0,75 puntos) Calcula el valor de

k

para que el punto

P(7, k, 2)

esté en la recta

r

que pasa por los puntos

A

C

.

c) (0,75 puntos) Calcula la distancia del punto

B

a la recta que pasa por

A

C

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = 0;\quad \pi:\ 3x - 2y + 3z - 15 = 0}

\boxed{\text{b)}\ k = 6}

\boxed{\text{c)}\ d(B, r) = \sqrt{\tfrac{22}{19}} = \tfrac{\sqrt{418}}{19} \approx 1{,}076\ \text{u}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cuatro puntos son coplanarios cuando los tres vectores que salen de uno de ellos hacia los otros son linealmente dependientes, es decir, cuando su producto mixto (el determinante de sus coordenadas) es cero. El vector normal del plano es el producto vectorial de dos de esos vectores.

En b) escribimos la recta

AC

en paramétricas e imponemos que

P

la cumpla: el mismo valor del parámetro tiene que valer para las tres coordenadas. En c) usamos la fórmula de la distancia de un punto a una recta,

d(B, r) = \dfrac{|\overrightarrow{AB} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}

, que aprovecha el producto vectorial ya calculado.

Desarrollo

a) Vectores con origen en

A

\overrightarrow{AB} = (-1, 0, 1), \qquad \overrightarrow{AC} = (-3, -3, 1), \qquad \overrightarrow{AD} = (0, -3, -2)

Su producto mixto, desarrollando por la primera fila:

\bigl[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\bigr] = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -3 & -3 & 1 \\ 0 & -3 & -2 \end{vmatrix} = -1\,(6 + 3) - 0 + 1\,(9 - 0) = -9 + 9 = 0

Los tres vectores son linealmente dependientes, así que $A$ , $B$ , $C$ y $D$ son coplanarios. Además

A

B

C

no están alineados (

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

no son proporcionales), así que determinan un único plano.

Vector normal:

\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ -3 & -3 & 1 \end{vmatrix} = (0 + 3)\,\vec{i} - (-1 + 3)\,\vec{j} + (3 - 0)\,\vec{k} = (3, -2, 3)

El plano es

3x - 2y + 3z + d = 0

; como pasa por

A(4, 3, 3)

12 - 6 + 9 + d = 0

, luego

d = -15

\pi:\ 3x - 2y + 3z - 15 = 0

Comprobación con los cuatro puntos:

A

12 - 6 + 9 = 15

;

B

9 - 6 + 12 = 15

;

C

3 - 0 + 12 = 15

;

D

12 - 0 + 3 = 15

✓.

b) La recta

r

pasa por

A(4, 3, 3)

con vector director

\overrightarrow{AC} = (-3, -3, 1)

r:\ \left\{\begin{array}{l} x = 4 - 3\lambda \\ y = 3 - 3\lambda \\ z = 3 + \lambda \end{array}\right. \qquad \lambda \in \mathbb{R}

P(7, k, 2) \in r

si existe un único

\lambda

que cumpla las tres ecuaciones:

7 = 4 - 3\lambda \Rightarrow \lambda = -1, \qquad 2 = 3 + \lambda \Rightarrow \lambda = -1

Las dos coordenadas que no dependen de

k

dan el mismo

\lambda = -1

(si no, ningún

k

serviría). Con él, la segunda coordenada:

k = 3 - 3\cdot(-1) = 6

c) Con el punto

A \in r

y el director

\vec{u} = \overrightarrow{AC}

, el producto vectorial

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (3, -2, 3)

ya está calculado:

|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22}, \qquad |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}

d(B, r) = \frac{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AC}|} = \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{19}} = \sqrt{\frac{22}{19}} = \frac{\sqrt{418}}{19} \approx 1{,}076\ \text{u}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para «justificar» que cuatro puntos son coplanarios no basta con hallar el plano de tres y ver que el cuarto lo cumple sin decirlo: escribe la razón (producto mixto nulo, o rango 2 de los tres vectores) y la conclusión.

En b), si las dos coordenadas que no llevan $k$ dieran valores distintos de $\lambda$ , la respuesta sería «ningún $k$ »: compruébalo siempre antes de sustituir en la que lleva el parámetro.