Límites y continuidad

a) Sea $p(x) = x^3 - 2x^2 + 2x - 2$. Es un polinomio, así que es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$.

Existencia (teorema de Bolzano).$$p(1) = 1 - 2 + 2 - 2 = -1 < 0, \qquad p(2) = 8 - 8 + 4 - 2 = 2 > 0$$$p$ es continua en $[1, 2]$ y cambia de signo en sus extremos, así que por el teorema de Bolzano existe $c \in (1, 2)$ con $p(c) = 0$: la ecuación tiene al menos una solución real.

Unicidad (teorema de Rolle). La derivada es$$p'(x) = 3x^2 - 4x + 2, \qquad \Delta = (-4)^2 - 4\cdot 3\cdot 2 = 16 - 24 = -8 < 0$$así que $p'(x)$ no se anula nunca (y, como el coeficiente de $x^2$ es positivo, $p'(x) > 0$ para todo $x$). Si la ecuación tuviera dos soluciones $a < b$, como $p$ es continua en $[a, b]$, derivable en $(a, b)$ y $p(a) = p(b) = 0$, el teorema de Rolle daría un punto $d \in (a, b)$ con $p'(d) = 0$, lo cual es imposible. Por tanto la solución es única. (Equivalentemente: $p' > 0$, luego $p$ es estrictamente creciente y solo puede cortar al eje una vez).

Aproximación. Aplicamos Bolzano en intervalos de longitud $0{,}1$ dentro de $(1, 2)$:$$p(1{,}5) = 3{,}375 - 4{,}5 + 3 - 2 = -0{,}125 < 0$$$$p(1{,}6) = 4{,}096 - 5{,}12 + 3{,}2 - 2 = 0{,}176 > 0$$Hay cambio de signo en $[1{,}5;\ 1{,}6]$, así que la raíz $c$ cumple $1{,}5 < c < 1{,}6$. Cualquier valor de ese intervalo la aproxima con un error menor que una décima; por ejemplo, $c \approx 1{,}5$ (el valor exacto es $c = 1{,}5436\ldots$). Si se toma el punto medio, $c \approx 1{,}55$, el error es incluso menor que $0{,}05$.

b) Derivamos:$$g'(x) = -2x + 2$$Puntos de corte de las dos gráficas:$$-x^2 + 2x + 2 = -2x + 2 \iff -x^2 + 4x = 0 \iff x(4 - x) = 0 \iff x = 0 \ \text{o}\ x = 4$$En $(0, 4)$, por ejemplo en $x = 2$: $g(2) = 2$ y $g'(2) = -2$, así que $g$ va por encima de $g'$ (la parábola por encima de la recta). Además $g(x) - g'(x) = -x^2 + 4x = x(4 - x) > 0$ en todo el intervalo.$$\text{Área} = \int_0^4 \bigl[g(x) - g'(x)\bigr]\,dx = \int_0^4 (-x^2 + 4x)\,dx = \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2\right]_0^4$$$$\text{Área} = -\frac{64}{3} + 32 - 0 = \frac{32}{3}\ \text{u}^2 \approx 10{,}67\ \text{u}^2$$