Matemáticas IIMedio2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Integrales

Extremadura · 2026 · Julio

Enunciado

Dada la función

f(x) = \dfrac{e^x}{x - 1}

.

a) (1,25 puntos) Determina los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f(x)

.

b) (1,25 puntos) Calcula una primitiva de la función

g(x) = (x^2 - 3x)\cdot e^x

que pase por el punto

P(0, 1)

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Resultado

\boxed{\text{a) Decrece en } (-\infty, 1) \cup (1, 2),\ \text{crece en } (2, +\infty);\ \text{mínimo relativo en } (2,\ e^2)}

\boxed{\text{b)}\ G(x) = (x^2 - 5x + 5)e^x - 4}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el método es el de siempre: dominio, derivada, puntos donde se anula y signo de $f'$ en cada intervalo, sin olvidar que

x = 1

no está en el dominio y separa intervalos aunque no sea un extremo. Como

e^x > 0

y el denominador de

f'

es un cuadrado, el signo lo decide un único factor.

En b) integramos por partes dos veces, tomando siempre el polinomio como

u

para que baje de grado. Después elegimos la constante de integración para que la primitiva valga 1 en

x = 0

Desarrollo

a) El denominador se anula en

x = 1

, así que

\operatorname{Dom} f = \mathbb{R} \setminus \{1\}

Derivamos con la regla del cociente:

f'(x) = \frac{e^x(x - 1) - e^x\cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{e^x(x - 2)}{(x - 1)^2}

f'(x) = 0 \iff x - 2 = 0 \iff x = 2

porque

e^x

nunca se anula. En el dominio,

e^x > 0

(x - 1)^2 > 0

, así que el signo de $f'$ es el de $x - 2$ . Dividimos la recta con

x = 1

(fuera del dominio) y

x = 2

	$(-\infty, 1)$	$(1, 2)$	$(2, +\infty)$
Signo de $x - 2$	$-$	$-$	$+$
Signo de $f'(x)$	$-$	$-$	$+$
$f(x)$	decrece	decrece	crece

$f$ es decreciente en $(-\infty, 1) \cup (1, 2)$ y creciente en $(2, +\infty)$ .
En $x = 2$ la derivada pasa de negativa a positiva: mínimo relativo en $x = 2$ , con $f(2) = \dfrac{e^2}{2 - 1} = e^2 \approx 7{,}389$ .
En $x = 1$ no hay extremo: la función no está definida (tiene una asíntota vertical). No hay máximos relativos.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Integramos por partes con

u = x^2 - 3x

dv = e^x\,dx

, de modo que

du = (2x - 3)\,dx

v = e^x

\int (x^2 - 3x)e^x\,dx = (x^2 - 3x)e^x - \int (2x - 3)e^x\,dx

Otra vez por partes, con

u = 2x - 3

dv = e^x\,dx

du = 2\,dx

v = e^x

\int (2x - 3)e^x\,dx = (2x - 3)e^x - \int 2e^x\,dx = (2x - 3)e^x - 2e^x = (2x - 5)e^x

Juntando:

\int (x^2 - 3x)e^x\,dx = (x^2 - 3x)e^x - (2x - 5)e^x + C = (x^2 - 5x + 5)e^x + C

Imponemos que la primitiva

G(x) = (x^2 - 5x + 5)e^x + C

pase por

P(0, 1)

G(0) = (0 - 0 + 5)\cdot e^0 + C = 5 + C = 1 \;\Longrightarrow\; C = -4

G(x) = (x^2 - 5x + 5)e^x - 4

Comprobación. Derivando:

G'(x) = (2x - 5)e^x + (x^2 - 5x + 5)e^x = (x^2 - 3x)e^x = g(x)

G(0) = 5 - 4 = 1

Consejo

Aunque en $x = 1$ la derivada no cambie de signo, ese punto tiene que aparecer en la tabla: es un hueco del dominio y escribir «decrece en $(-\infty, 2)$ » es un error que se penaliza. Por la misma razón, se escribe la unión $(-\infty, 1) \cup (1, 2)$ , nunca un único intervalo.

En b) comprueba siempre la primitiva derivándola: es un minuto y detecta el error de signo típico de la segunda integración por partes.