Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} k & 2 & -1 \\ 2 & k & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} k & 2 & -1 & 3k \\ 2 & k & -2 & 6 \\ 1 & -1 & 1 & k \end{array}\right)$$Desarrollamos $|A|$ por la primera fila:$$|A| = k\begin{vmatrix} k & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)\begin{vmatrix} 2 & k \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = k(k - 2) - 2\cdot 4 - (-2 - k)$$$$|A| = k^2 - 2k - 8 + 2 + k = k^2 - k - 6 = (k - 3)(k + 2)$$$$|A| = 0 \iff k = 3 \ \text{o}\ k = -2$$Caso $k \neq 3$ y $k \neq -2$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $k = -2$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & -1 & -6 \\ 2 & -2 & -2 & 6 \\ 1 & -1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$Como $|A| = 0$ y el menor de las filas 1 y 2 y las columnas de $x$ y $z$ es $\begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = 4 + 2 = 6 \neq 0$, se tiene $\operatorname{rg}(A) = 2$. Orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} -2 & -1 & -6 \\ 2 & -2 & 6 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = -2(4 - 6) - (-1)(-4 - 6) + (-6)(2 + 2) = 4 - 10 - 24 = -30 \neq 0$$Luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible (no tiene solución).

Caso $k = 3$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 9 \\ 2 & 3 & -2 & 6 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 9 - 4 = 5 \neq 0$ y $|A| = 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. Los menores de orden 3 de $A^*$ que contienen a ese menor son $|A| = 0$ y el que lleva la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 3 & 2 & 9 \\ 2 & 3 & 6 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 3(9 + 6) - 2(6 - 6) + 9(-2 - 3) = 45 - 0 - 45 = 0$$Luego $\operatorname{rg}(A^*) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, dependientes de un parámetro).

b) Con $k = 3$ el rango es 2, así que basta con dos ecuaciones independientes: la otra es combinación lineal de ellas. Tomamos la primera y la tercera (su menor en $x$ e $y$ es $\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -5 \neq 0$) y pasamos $z = \lambda$ al segundo miembro como parámetro:$$\left\{\begin{array}{l} 3x + 2y - z = 9 \\ x - y + z = 3 \end{array}\right.$$De la segunda, $x = 3 + y - \lambda$; sustituyendo en la primera:$$3(3 + y - \lambda) + 2y - \lambda = 9 \;\Longrightarrow\; 5y - 4\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; y = \frac{4\lambda}{5}$$$$x = 3 + \frac{4\lambda}{5} - \lambda = 3 - \frac{\lambda}{5}$$Para evitar fracciones podemos llamar $z = 5t$:$$(x, y, z) = (3 - t,\ 4t,\ 5t), \qquad t \in \mathbb{R}$$Comprobación en las tres ecuaciones con $k = 3$:

• $3(3 - t) + 2\cdot 4t - 5t = 9 - 3t + 8t - 5t = 9$ ✓
• $2(3 - t) + 3\cdot 4t - 2\cdot 5t = 6 - 2t + 12t - 10t = 6$ ✓
• $(3 - t) - 4t + 5t = 3$ ✓