Matrices

a) La traspuesta cambia filas por columnas:$$A^t = \begin{pmatrix} k & 1 \\ -1 & 0 \\ 1 & k \end{pmatrix}, \qquad A^t\cdot B = \begin{pmatrix} k & 1 \\ -1 & 0 \\ 1 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} k & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k^2 - 1 & k \\ -k & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$Igualando con $C$:$$\begin{pmatrix} k^2 - 1 & k \\ -k & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \iff \left\{\begin{array}{l} k^2 - 1 = 0 \\ k = 1 \\ -k = -1 \end{array}\right.$$La segunda ecuación da $k = 1$, que cumple también las otras dos ($1 - 1 = 0$). Luego $k = 1$ (el valor $k = -1$, que anula $k^2 - 1$, no sirve porque el elemento $(1,2)$ valdría $-1$).

b) Calculamos el producto ($2\times 3$ por $3\times 2$ da $2\times 2$):$$A\cdot C = \begin{pmatrix} k & -1 & 1 \\ 1 & 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 1 + 0 & k + 1 + 1 \\ 0 + 0 + 0 & 1 + 0 + k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & k + 2 \\ 0 & k + 1 \end{pmatrix}$$Es triangular, así que su determinante es el producto de la diagonal:$$|A\cdot C| = 1\cdot(k + 1) = k + 1, \qquad |A\cdot C| = 0 \iff k = -1$$Por tanto, $A\cdot C$ tiene inversa para todo $k \neq -1$.

Para $k = 0$:$$M = A\cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad |M| = 1$$Los adjuntos son $M_{11} = 1$, $M_{12} = 0$, $M_{21} = -2$, $M_{22} = 1$, así que$$M^{-1} = \frac{1}{|M|}\,\bigl(\operatorname{Adj} M\bigr)^t = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$Comprobación:$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 + 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$c) Calculamos los dos miembros:$$B^2 = \begin{pmatrix} k & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} k & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k^2 - 1 & k \\ -k & -1 \end{pmatrix}, \qquad B - I = \begin{pmatrix} k - 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$Igualando elemento a elemento:$$\left\{\begin{array}{l} k^2 - 1 = k - 1 \\ k = 1 \\ -k = -1 \\ -1 = -1 \end{array}\right.$$La primera ecuación es $k^2 - k = 0$, es decir, $k(k - 1) = 0$, con soluciones $k = 0$ y $k = 1$; pero la segunda obliga a que $k = 1$. Luego $k = 1$.

Comprobación. Con $k = 1$: $B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ y $B - I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ ✓.