Probabilidad

a) Llamamos $A$, $N$ y $M$ a los sucesos «el móvil es de la marca $A$», «… de la marca $N$» y «… de la marca $M$», y $S$ a «el móvil tiene instalado el software espía».

Probabilidades no condicionadas (las marcas). Como $A$, $N$ y $M$ forman un sistema completo, la de $M$ es lo que falta hasta $1$:$$P(A) = 0{,}2, \qquad P(N) = 0{,}4, \qquad P(M) = 1 - 0{,}2 - 0{,}4 = 0{,}4$$Probabilidades condicionadas (el software, según la marca) y sus complementarias:$$P(S \mid A) = 0{,}15, \qquad P(S \mid N) = 0{,}10, \qquad P(S \mid M) = 0{,}12$$$$P(\bar{S} \mid A) = 0{,}85, \qquad P(\bar{S} \mid N) = 0{,}90, \qquad P(\bar{S} \mid M) = 0{,}88$$En forma de árbol: primer nivel, la marca ($0{,}2$; $0{,}4$; $0{,}4$); segundo nivel, con software o sin él.

b) Por el teorema de la probabilidad total, sumando las ramas que terminan en $S$:$$P(S) = P(A)\,P(S \mid A) + P(N)\,P(S \mid N) + P(M)\,P(S \mid M)$$$$P(S) = 0{,}2\cdot 0{,}15 + 0{,}4\cdot 0{,}10 + 0{,}4\cdot 0{,}12 = 0{,}03 + 0{,}04 + 0{,}048 = 0{,}118$$Un $11{,}8\ \%$ de los móviles lleva el software espía.

c) Nos piden $P(A \mid S)$. Por el teorema de Bayes:$$P(A \mid S) = \frac{P(A \cap S)}{P(S)} = \frac{P(A)\,P(S \mid A)}{P(S)} = \frac{0{,}03}{0{,}118} = \frac{15}{59} \approx 0{,}254$$Comprobación de sentido. La marca $A$ es solo el $20\ \%$ de los móviles, pero es la que más software lleva ($15\ \%$). Saber que un móvil espía hace algo más probable que sea de $A$: pasa de $0{,}2$ a $0{,}254$. Las otras dos, $P(N \mid S) = \frac{0{,}04}{0{,}118} \approx 0{,}339$ y $P(M \mid S) = \frac{0{,}048}{0{,}118} \approx 0{,}407$, suman con ella $1$ ✓.