Dados el plano \pi_1 \equiv 2x - 3y + z = a y el plano \pi_2 determinado por el punto P(0, 2, 4) y los vectores directores \vec{v}_1 = (0, 2, 6) y \vec{v}_2 = (1, 0, b), se pide: a) (0,75 puntos) Calcular los valores de a y b para que \pi_1 y \pi_2 sean paralelos y distintos. b) (0,75 puntos) Para a = 1 y b = 0 determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de \pi_1 y \pi_2. c) (1 punto) Para a = 4 y b = -2 determinar los puntos que están a igual distancia de \pi_1 y \pi_2.

Matemáticas IIMedio2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Castilla y León · 2026 · Junio

Enunciado

Dados el plano

\pi_1 \equiv 2x - 3y + z = a

y el plano

\pi_2

determinado por el punto

P(0, 2, 4)

y los vectores directores

\vec{v}_1 = (0, 2, 6)

\vec{v}_2 = (1, 0, b)

, se pide:

a) (0,75 puntos) Calcular los valores de

a

b

para que

\pi_1

\pi_2

sean paralelos y distintos.

b) (0,75 puntos) Para

a = 1

b = 0

determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de

\pi_1

\pi_2

.

c) (1 punto) Para

a = 4

b = -2

determinar los puntos que están a igual distancia de

\pi_1

\pi_2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ b = -2,\ a \neq -2}

\boxed{\text{b)}\ x = \tfrac{3}{2},\quad y = \lambda,\quad z = -2 + 3\lambda}

\boxed{\text{c)}\ \text{El plano } 2x - 3y + z = 1}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo gira en torno al vector normal de cada plano. El de

\pi_1

se lee en su ecuación,

\vec{n}_1 = (2, -3, 1)

; el de

\pi_2

es el producto vectorial de sus vectores directores,

\vec{n}_2 = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2

.

En a) dos planos son paralelos si sus normales son proporcionales, y distintos si además no comparten puntos. En b) resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones generales. En c) los planos resultan paralelos, y los puntos que equidistan de dos planos paralelos forman el plano paralelo que queda a medio camino: lo sacamos igualando las fórmulas de la distancia de un punto a un plano.

Desarrollo

Vector normal de

\pi_2

para un

b

cualquiera:

\vec{n}_2 = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & b \end{vmatrix} = (2b,\ 6,\ -2)

\pi_1 \parallel \pi_2

exige que

\vec{n}_2 = (2b, 6, -2)

sea proporcional a

\vec{n}_1 = (2, -3, 1)

\frac{2b}{2} = \frac{6}{-3} = \frac{-2}{1} = -2 \quad\Longrightarrow\quad b = -2

Con

b = -2

\vec{n}_2 = (-4, 6, -2) = -2\,(2, -3, 1)

, y el plano

\pi_2

pasa por

P(0, 2, 4)

2(x - 0) - 3(y - 2) + (z - 4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \pi_2 \equiv 2x - 3y + z = -2

Los dos planos tienen el mismo primer miembro,

2x - 3y + z

. Son el mismo plano si

a = -2

y paralelos distintos en otro caso. Por tanto:

b = -2 \quad\text{y}\quad a \neq -2

(Comprobación:

P(0, 2, 4)

cumple

0 - 6 + 4 = -2

, así que

P \in \pi_1

solo si

a = -2

.)

b) Con

b = 0

\vec{n}_2 = (0, 6, -2)

, o mejor

(0, 3, -1)

. El plano por

P(0, 2, 4)

3(y - 2) - (z - 4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \pi_2 \equiv 3y - z = 2

La recta intersección es la solución del sistema

\left\{\begin{array}{l} 2x - 3y + z = 1 \\ 3y - z = 2 \end{array}\right.

Sumando las dos ecuaciones,

2x = 3

, luego

x = \frac{3}{2}

. De la segunda,

z = 3y - 2

. Tomando

y = \lambda

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = \frac{3}{2} \\ y = \lambda \\ z = -2 + 3\lambda \end{array}\right. \qquad \lambda \in \mathbb{R}

Comprobación. El vector director

(0, 1, 3)

es perpendicular a las dos normales:

(0, 1, 3)\cdot(2, -3, 1) = -3 + 3 = 0

(0, 1, 3)\cdot(0, 3, -1) = 3 - 3 = 0

✓. El punto

\left(\frac{3}{2}, 0, -2\right)

cumple

3 - 0 - 2 = 1

0 + 2 = 2

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

c) Con

a = 4

b = -2

, por el apartado a):

\pi_1 \equiv 2x - 3y + z - 4 = 0, \qquad \pi_2 \equiv 2x - 3y + z + 2 = 0

que son paralelos y distintos. Un punto

X(x, y, z)

equidista de los dos si

d(X, \pi_1) = d(X, \pi_2) \iff \frac{|2x - 3y + z - 4|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2}} = \frac{|2x - 3y + z + 2|}{\sqrt{14}} \iff |2x - 3y + z - 4| = |2x - 3y + z + 2|

Dos valores absolutos son iguales si los números son iguales u opuestos:

$2x - 3y + z - 4 = 2x - 3y + z + 2$ lleva a $-4 = 2$ : imposible, ningún punto.
$2x - 3y + z - 4 = -(2x - 3y + z + 2)$ lleva a $4x - 6y + 2z - 2 = 0$ , es decir, $2x - 3y + z - 1 = 0$ .

Los puntos que equidistan de

\pi_1

\pi_2

forman el plano

\pi \equiv 2x - 3y + z = 1

paralelo a los dos y a medio camino: su término independiente,

1

, es la media de

4

-2

.

Comprobación. Un punto de

\pi

, por ejemplo

(0, 0, 1)

, dista

\frac{|1 - 4|}{\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}

\pi_1

\frac{|1 + 2|}{\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}

\pi_2

✓ (unos

0{,}802

unidades).

Consejo

En a) piden «paralelos y distintos»: no basta con $b = -2$ . Hay que excluir el valor de $a$ que hace coincidir los planos, y eso se ve comprobando si el punto $P$ está en $\pi_1$ .

En c), al quitar el valor absoluto, plantea siempre los dos signos. Uno da una contradicción y el otro el plano buscado; si los planos se cortaran, darían los dos planos bisectores.