Derivadas y aplicaciones

a) Dominio. El denominador $1 + e^x$ es siempre mayor que $1$, porque $e^x > 0$. Nunca se anula:$$\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R}$$Monotonía. Derivamos con la regla del cociente (o como $(1 + e^x)^{-1}$ con la regla de la cadena):$$f'(x) = \frac{0\cdot(1 + e^x) - 1\cdot e^x}{(1 + e^x)^2} = \frac{-e^x}{(1 + e^x)^2}$$El numerador $-e^x$ es negativo y el denominador, un cuadrado no nulo, positivo. Luego $f'(x) < 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$: $f$ es estrictamente decreciente en todo $\mathbb{R}$.

Extremos relativos. No tiene. $f$ es derivable en todo $\mathbb{R}$, así que un extremo relativo exigiría $f'(x) = 0$, y $f'$ no se anula nunca. Dicho de otro modo: una función estrictamente decreciente en todo su dominio (un intervalo abierto) no tiene máximos ni mínimos relativos.

Asíntotas verticales. No hay: $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$ (cociente de funciones continuas con denominador no nulo).

Asíntotas horizontales. Calculamos los límites en el infinito:$$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1 + e^x} = \frac{1}{+\infty} = 0, \qquad \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{1 + e^x} = \frac{1}{1 + 0} = 1$$

• $y = 0$ es asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$ (la gráfica queda por encima, porque $f > 0$).
• $y = 1$ es asíntota horizontal cuando $x \to -\infty$ (la gráfica queda por debajo, porque $f < 1$).

Asíntotas oblicuas. No hay: en los dos sentidos ya tiene asíntota horizontal.

La gráfica baja de forma continua de $1$ a $0$, pasando por $f(0) = \frac{1}{2}$.

b) Como $(\operatorname{sen} x)' = \cos x$, el integrando es $u\,u'$ con $u = \operatorname{sen} x$, y $\int u\,u'\,dx = \frac{u^2}{2}$:$$\int \operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx = \frac{\operatorname{sen}^2 x}{2} + C$$Por la regla de Barrow:$$\int_0^{\pi/2} \operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx = \left[\frac{\operatorname{sen}^2 x}{2}\right]_0^{\pi/2} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$$Comprobación. Con $\operatorname{sen}(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)$: $\left[-\frac{1}{4}\cos(2x)\right]_0^{\pi/2} = -\frac{1}{4}(-1) + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ ✓.