Integrales

a) Dividimos cada término del numerador entre $x^{1/2}$:$$\frac{x^3 - 5}{\sqrt{x}} = \frac{x^3}{x^{1/2}} - \frac{5}{x^{1/2}} = x^{5/2} - 5x^{-1/2}$$Una primitiva, con $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$:$$F(x) = \frac{x^{7/2}}{7/2} - 5\,\frac{x^{1/2}}{1/2} = \frac{2}{7}x^{7/2} - 10\sqrt{x}$$El integrando no está definido en $x = 0$ (se va a $-\infty$), así que en rigor es una integral impropia: se integra en $[t, 1]$ y se hace $t \to 0^+$. Como $F$ es continua en $[0, 1]$, el límite existe y vale lo mismo que aplicar la regla de Barrow directamente:$$\int_0^1 \frac{x^3 - 5}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{t \to 0^+}\left[F(1) - F(t)\right] = \left(\frac{2}{7} - 10\right) - 0 = -\frac{68}{7} \approx -9{,}714$$El resultado negativo es lógico: en $(0, 1]$ el numerador $x^3 - 5$ es negativo y el denominador positivo, así que el integrando es negativo en todo el intervalo.

Comprobación. $F'(x) = \frac{2}{7}\cdot\frac{7}{2}x^{5/2} - 10\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2} = x^{5/2} - 5x^{-1/2}$ ✓.

b) Existencia. $f(x) = 2 - e^x$ es continua en todo $\mathbb{R}$ (diferencia de una constante y una exponencial), en particular en $[0, 1]$. Además$$f(0) = 2 - 1 = 1 > 0, \qquad f(1) = 2 - e \approx -0{,}718 < 0$$Por el teorema de Bolzano, existe al menos un $c \in (0, 1)$ con $f(c) = 0$.

Unicidad. $f$ es derivable en $\mathbb{R}$ y$$f'(x) = -e^x < 0 \quad \text{para todo } x \in \mathbb{R}$$porque la exponencial es siempre positiva. Así que $f$ es estrictamente decreciente en todo $\mathbb{R}$ y no puede tomar el valor $0$ en dos puntos distintos: la raíz es única.

(Se puede decir cuál es: $2 - e^x = 0 \iff x = \ln 2 \approx 0{,}693$, que efectivamente está en $(0, 1)$.)