Matemáticas IIMedio2,5 pts

Matrices

Castilla y León · 2026 · Junio

Enunciado

a) (1 punto) Calcular

A

(AB)^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

.

b) (1,5 puntos) Si

M = \begin{pmatrix} 3 & x \\ y & z \end{pmatrix}

es invertible, calcula

x, y, z

sabiendo que

(3z)M^{-1} + I = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}

. Entiéndase que

I

es la matriz identidad.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ A = \begin{pmatrix} 3/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}}

\boxed{\text{b)}\ x = 0,\ y = 1,\ z = 1}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las dos partes son ecuaciones matriciales que se despejan con dos herramientas: la traspuesta (

(P^t)^t = P

) y la inversa (multiplicar por

B^{-1}

por el lado correcto, porque el producto de matrices no es conmutativo).

En a) trasponemos para obtener

AB

y multiplicamos por

B^{-1}

por la derecha. En b) despejamos

(3z)M^{-1}

, invertimos para obtener

M

y comparamos con la forma de

M

que da el enunciado.

Desarrollo

a) Trasponiendo los dos miembros,

AB = \left[(AB)^t\right]^t

AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

B

es invertible porque

|B| = 1\cdot 1 - 1\cdot(-1) = 2 \neq 0

. Su inversa, con la matriz adjunta traspuesta:

B^{-1} = \frac{1}{|B|}\operatorname{Adj}(B)^t = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Multiplicamos

AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

por

B^{-1}

por la derecha:

A = (AB)\,B^{-1}

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + 2 & -1 + 2 \\ 0 + 1 & 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}

Comprobación.

AB = \begin{pmatrix} 3/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

, cuya traspuesta es

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Restamos

I

a los dos miembros:

(3z)M^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = C

Como

|C| = 3 \neq 0

, el escalar

3z

no puede ser

0

(si lo fuera, el primer miembro sería la matriz nula). Por tanto

z \neq 0

M^{-1} = \frac{1}{3z}C

. Invirtiendo los dos miembros,

M = 3z\,C^{-1}

C^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad M = 3z\cdot\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3z & 0 \\ z & z \end{pmatrix}

Igualamos con

M = \begin{pmatrix} 3 & x \\ y & z \end{pmatrix}

término a término:

3z = 3, \qquad 0 = x, \qquad z = y, \qquad z = z \quad\Longrightarrow\quad z = 1,\ x = 0,\ y = 1

M = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

es invertible, como pide el enunciado:

|M| = 3 \neq 0

.

Comprobación.

M^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}

3z = 3

3M^{-1} + I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \ \checkmark

Consejo

Si $AB = P$ , entonces $A = P\,B^{-1}$ , con la inversa a la derecha. Escribir $B^{-1}P$ es el error más típico y da otra matriz, porque el producto de matrices no es conmutativo.

En b) no hace falta escribir $M^{-1}$ con $x$ , $y$ , $z$ dentro: despeja $M$ entera y compara. Te ahorras un sistema no lineal.