Matemáticas IIFácil2,5 pts

Probabilidad

Castilla y León · 2026 · Julio

Enunciado

Lucía, Gloria y María se reparten los ejercicios que la profesora de matemáticas asigna a su grupo. Lucía resuelve el

45\%

, Gloria el

30\%

y María el resto. Además, sabemos que Lucía resuelve correctamente el

90\%

de los ejercicios que realiza, Gloria el

95\%

y María el

80\%

.

a) (0,5 puntos) Describir los sucesos y todas las probabilidades que se mencionan utilizando una notación adecuada.

Si la profesora escoge un ejercicio al azar:

b) (1 punto) Calcular la probabilidad de que el ejercicio esté resuelto correctamente.

c) (1 punto) Sabiendo que el ejercicio es incorrecto, calcular la probabilidad de que lo haya resuelto Gloria.

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Resultado

\boxed{\text{b)}\ P(C) = 0{,}89}

\boxed{\text{c)}\ P(G \mid \overline{C}) = \frac{3}{22} \approx 0{,}136}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el esquema clásico de probabilidad total y Bayes: los ejercicios se reparten entre tres personas (un sistema completo de sucesos) y de cada una sabemos la probabilidad de acertar. Un diagrama de árbol ordena los datos.

En b) sumamos las ramas que acaban en «correcto» (probabilidad total). En c) nos dan el resultado (incorrecto) y preguntan por la causa (Gloria): es el teorema de Bayes, con el denominador

P(\overline{C}) = 1 - P(C)

de b).

Desarrollo

a) Elegido un ejercicio al azar, definimos los sucesos

$L$ = "el ejercicio lo ha resuelto Lucía",
$G$ = "el ejercicio lo ha resuelto Gloria",
$M$ = "el ejercicio lo ha resuelto María",
$C$ = "el ejercicio está resuelto correctamente", y $\overline{C}$ = "está resuelto incorrectamente".

L

G

M

forman un sistema completo de sucesos (son incompatibles y cada ejercicio lo resuelve una de las tres). Las probabilidades del enunciado son

P(L) = 0{,}45, \qquad P(G) = 0{,}30, \qquad P(M) = 1 - 0{,}45 - 0{,}30 = 0{,}25

P(C \mid L) = 0{,}90, \qquad P(C \mid G) = 0{,}95, \qquad P(C \mid M) = 0{,}80

y, por el complementario,

P(\overline{C} \mid L) = 0{,}10

P(\overline{C} \mid G) = 0{,}05

P(\overline{C} \mid M) = 0{,}20

.

b) Por el teorema de la probabilidad total:

P(C) = P(L)\,P(C \mid L) + P(G)\,P(C \mid G) + P(M)\,P(C \mid M)

P(C) = 0{,}45\cdot 0{,}90 + 0{,}30\cdot 0{,}95 + 0{,}25\cdot 0{,}80 = 0{,}405 + 0{,}285 + 0{,}200 = 0{,}89

c) Primero,

P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0{,}89 = 0{,}11

(o, por la probabilidad total,

0{,}45\cdot 0{,}10 + 0{,}30\cdot 0{,}05 + 0{,}25\cdot 0{,}20 = 0{,}045 + 0{,}015 + 0{,}050 = 0{,}11

✓). Por el teorema de Bayes:

P(G \mid \overline{C}) = \frac{P(G)\,P(\overline{C} \mid G)}{P(\overline{C})} = \frac{0{,}30\cdot 0{,}05}{0{,}11} = \frac{0{,}015}{0{,}11} = \frac{3}{22} \approx 0{,}136

Comprobación de sentido. Gloria resuelve el

30\%

de los ejercicios pero es la que menos falla, así que entre los incorrectos su peso baja mucho: solo el

13{,}6\%

de los ejercicios mal resueltos son suyos.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) la nota exige distinguir bien $P(C \mid L)$ («de los que resuelve Lucía, cuántos acierta») de $P(L \cap C)$ . El $90\%$ del enunciado es una probabilidad condicionada, no la de que el ejercicio sea de Lucía y esté bien.

En c) el denominador es la probabilidad de fallar, $0{,}11$ , no la de acertar: es el error típico cuando se reutiliza el resultado de b) sin pensar.