Rectas y planos

a) $E$ es el punto medio de $AC$, luego $C = 2E - A$; y es el punto medio de $BD$, luego $D = 2E - B$:$$C = (0, 0, 2) - (1, 1, 1) = (-1, -1, 1), \qquad D = (0, 0, 2) - (0, 2, 0) = (0, -2, 2)$$Comprobación. Es un paralelogramo porque $\overrightarrow{AB} = (-1, 1, -1) = \overrightarrow{DC}$, ya que $C - D = (-1, 1, -1)$ ✓.

b) El plano pasa por $A(1, 1, 1)$ y contiene a$$\overrightarrow{AB} = (-1, 1, -1), \qquad \overrightarrow{AE} = (-1, -1, 0)$$que no son proporcionales. Un vector normal es$$\vec n = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AE} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 1)\,\vec i - (0 - 1)\,\vec j + (1 + 1)\,\vec k = (-1, 1, 2)$$El plano es $-(x - 1) + (y - 1) + 2(z - 1) = 0$, es decir, $-x + y + 2z - 2 = 0$, o, cambiando el signo,$$x - y - 2z + 2 = 0$$Comprobación. $A$: $1 - 1 - 2 + 2 = 0$ ✓; $B$: $0 - 2 - 0 + 2 = 0$ ✓; $C$: $-1 + 1 - 2 + 2 = 0$ ✓; $D$: $0 + 2 - 4 + 2 = 0$ ✓.

c) Las aristas que salen de $O$ son $\overrightarrow{OA} = (1, 1, 1)$, $\overrightarrow{OB} = (0, 2, 0)$ y $\overrightarrow{OE} = (0, 0, 1)$. Su producto mixto es$$\left[\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OE}\right] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot 2\cdot 1 = 2$$(la matriz es triangular). Como no es cero, los cuatro puntos no son coplanarios y forman un tetraedro de volumen$$V = \frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OE}\right]\right| = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\ \text{u}^3$$Comprobación por otro camino. La base $ABE$ está en el plano de b) y la altura es la distancia de $O$ a ese plano, $\frac{|2|}{\sqrt{1 + 1 + 4}} = \frac{2}{\sqrt 6}$. El área de la base es $\frac{1}{2}|\vec n| = \frac{\sqrt 6}{2}$, y $V = \frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt 6}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt 6} = \frac{1}{3}$ ✓.