Matemáticas IIFácil2,5 pts

Rectas y planos

Castilla y León · 2026 · Julio

Enunciado

Dado el plano

\pi \equiv x + y = 0

, el punto

A(1, -1, 0)

y la recta

s \equiv x = y = z

. Hallar la recta

r

, en su forma paramétrica, que pasa por

A

, está contenida en

\pi

, y corta a la recta

s

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 1 + \lambda \\ y = -1 - \lambda \\ z = 0 \end{array}\right. \quad \lambda \in \mathbb{R}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La recta

r

está entera en

\pi

, así que el punto donde corta a

s

tiene que estar en $\pi$ y en $s$ a la vez: es la intersección de

s

con

\pi

. Si esa intersección es un único punto

P

, la recta buscada es la que pasa por

A

y por

P

. Antes comprobamos que

A

está en

\pi

(si no, no habría solución) y al final, que la recta obtenida cumple las tres condiciones.

Desarrollo

$A$ está en $\pi$ :

1 + (-1) = 0

✓.

Intersección de $s$ con $\pi$ . En paramétricas,

s \equiv (x, y, z) = (t, t, t)

, con vector director

\vec v_s = (1, 1, 1)

. Como

\vec n_\pi = (1, 1, 0)

\vec v_s\cdot\vec n_\pi = 1 + 1 + 0 = 2 \neq 0

, la recta

s

no es paralela a

\pi

: lo corta en un único punto. Sustituyendo en

\pi

t + t = 0 \;\Longrightarrow\; t = 0 \;\Longrightarrow\; P = (0, 0, 0)

La recta $r$ . Si

r

está contenida en

\pi

y corta a

s

, el punto de corte está en

\pi \cap s = \{P\}

, así que

r

pasa por

A

y por

P

(no puede ser paralela a

s

, porque

s

no es paralela a

\pi

). Su vector director es

\overrightarrow{PA} = (1, -1, 0)

y, tomando el punto

A

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 1 + \lambda \\ y = -1 - \lambda \\ z = 0 \end{array}\right. \qquad \lambda \in \mathbb{R}

Otra forma de verlo.

r

es la intersección de

\pi

con el plano que contiene a

s

y pasa por

A

. Ese plano pasa por

O(0, 0, 0) \in s

y tiene por vectores

\vec v_s = (1, 1, 1)

\overrightarrow{OA} = (1, -1, 0)

, luego su normal es

\vec v_s \times \overrightarrow{OA} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (1, 1, -2) \;\Longrightarrow\; x + y - 2z = 0

Resolviendo con

x + y = 0

queda

z = 0

y = -x

: la misma recta.

Comprobación.

Pasa por $A$ : con $\lambda = 0$ se obtiene $(1, -1, 0)$ ✓.
Está contenida en $\pi$ : $(1 + \lambda) + (-1 - \lambda) = 0$ para todo $\lambda$ ✓.
Corta a $s$ : con $\lambda = -1$ se obtiene $(0, 0, 0)$ , que cumple $x = y = z$ ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La clave es darse cuenta de que el punto de corte con $s$ tiene que estar también en $\pi$ , porque $r$ está contenida en $\pi$ . Con eso el problema se reduce a una intersección recta-plano y una recta por dos puntos.

Acaba siempre comprobando las tres condiciones del enunciado: un signo cambiado en el vector director se detecta en cuanto sustituyes en la ecuación de $\pi$ .