Matemáticas IIFácil2,5 pts

Integrales

También trata: Derivadas y aplicaciones

Castilla y León · 2026 · Julio

Enunciado

Considere la función

f(x) = x\ln(x)

, con

x > 0

a) (0,75 puntos) Calcular la derivada de

f(x)

.

b) (0,75 puntos) Calcular una primitiva de

f(x)

.

c) (1 punto) Calcular el área del recinto limitado por

f(x)

, el eje OX (abscisas) y las dos rectas

x = 1

x = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ f'(x) = \ln x + 1}

\boxed{\text{b)}\ F(x) = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}}

\boxed{\text{c)}\ \text{Área} = 2\ln 2 - \frac{3}{4} \approx 0{,}636\ \text{u}^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a),

f

es un producto: regla del producto con

(\ln x)' = \frac{1}{x}

.

En b), el producto de un polinomio por un logaritmo se integra por partes, tomando

u = \ln x

(que al derivar se simplifica) y

dv = x\,dx

.

En c), antes de aplicar Barrow hay que saber el signo de

f

[1, 2]

: si cambiara de signo habría que partir la integral. Aquí

\ln x \geq 0

para

x \geq 1

, así que el área es directamente la integral definida, usando la primitiva de b).

Desarrollo

a) Por la regla del producto:

f'(x) = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1, \qquad x > 0

b) Integramos por partes,

\int u\,dv = uv - \int v\,du

, con

u = \ln x \;\Rightarrow\; du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad dv = x\,dx \;\Rightarrow\; v = \frac{x^2}{2}

\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C

Una primitiva (con

C = 0

) es

F(x) = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}

Comprobación.

F'(x) = x\ln x + \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} - \frac{x}{2} = x\ln x + \frac{x}{2} - \frac{x}{2} = x\ln x = f(x)

✓.

c) En

[1, 2]

x > 0

\ln x \geq 0

(solo se anula en

x = 1

), luego

f(x) = x\ln x \geq 0

: la gráfica está por encima del eje

OX

y el área es la integral definida, sin partirla. Por la regla de Barrow con la primitiva de b):

\text{Área} = \int_1^2 x\ln x\,dx = F(2) - F(1) = \left(\frac{4}{2}\ln 2 - \frac{4}{4}\right) - \left(\frac{1}{2}\ln 1 - \frac{1}{4}\right)

= (2\ln 2 - 1) - \left(0 - \frac{1}{4}\right) = 2\ln 2 - \frac{3}{4} \approx 1{,}386 - 0{,}75 = 0{,}636\ \text{u}^2

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En las integrales por partes del tipo «polinomio por logaritmo», el logaritmo siempre es $u$ : si tomas $u = x$ tendrías que integrar $\ln x$ , que es justo lo difícil.

En un área, escribe siempre por qué la función no cambia de signo en el intervalo (aquí, $\ln x \geq 0$ para $x \geq 1$ ) antes de aplicar Barrow, y acaba con las unidades: $\text{u}^2$ .