Sistemas de ecuaciones

a) Despejamos:$$\frac{1}{4}A^2 - AX = B \;\Longrightarrow\; AX = \frac{1}{4}A^2 - B \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\left(\frac{1}{4}A^2 - B\right)$$siempre que $A$ sea invertible. Desarrollando por la segunda fila, $|A| = 2\cdot\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 2\cdot 8 = 16 \neq 0$, así que existe $A^{-1}$.

Calculamos el segundo miembro:$$A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 8 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 12 & 4 & 16 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{4}A^2 - B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 4 & -6 \\ -2 & 1 & -2 \\ -11 & 3 & -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 6 \\ 2 & 0 & 2 \\ 14 & -2 & 12 \end{pmatrix}$$La inversa, por adjuntos, $A^{-1} = \frac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A)^t$:$$\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 8 & 0 & -4 \\ -8 & 8 & 4 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; A^{-1} = \frac{1}{16}\begin{pmatrix} 8 & -8 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ -4 & 4 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$Y multiplicamos:$$X = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & -2 & 6 \\ 2 & 0 & 2 \\ 14 & -2 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$Comprobación. $AX = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 6 \\ 2 & 0 & 2 \\ 14 & -2 & 12 \end{pmatrix}$, y $\frac{1}{4}A^2 - AX = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & -2 & 6 \\ 2 & 0 & 2 \\ 14 & -2 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 4 & -6 \\ -2 & 1 & -2 \\ -11 & 3 & -8 \end{pmatrix} = B$ ✓.

b) La matriz de coeficientes y la ampliada son$$A - \alpha I = \begin{pmatrix} 2-\alpha & 2 & 0 \\ 0 & 2-\alpha & 0 \\ 2 & 0 & 4-\alpha \end{pmatrix}, \qquad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2-\alpha & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2-\alpha & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4-\alpha & 1 \end{array}\right)$$Desarrollando por la tercera columna:$$|A - \alpha I| = (4-\alpha)\begin{vmatrix} 2-\alpha & 2 \\ 0 & 2-\alpha \end{vmatrix} = (4-\alpha)(2-\alpha)^2 = 0 \iff \alpha = 2 \ \text{o}\ \alpha = 4$$Caso $\alpha \neq 2$ y $\alpha \neq 4$. $|A - \alpha I| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A - \alpha I) = \operatorname{rg}(M^*) = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado. De hecho, las dos primeras ecuaciones dan $y = 0$ y $x = 0$, y la tercera, $z = \frac{1}{4-\alpha}$.

Caso $\alpha = 2$.$$M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right)$$La segunda fila es nula, así que los dos rangos son como mucho 2, y el menor $\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -4 \neq 0$ (filas 1 y 3, columnas de $x$ e $y$) da $\operatorname{rg}(A - 2I) = \operatorname{rg}(M^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones con un parámetro: $y = 0$, $x + z = \frac{1}{2}$).

Caso $\alpha = 4$.$$M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 4 \neq 0$ y $|A - 4I| = 0$ dan $\operatorname{rg}(A - 4I) = 2$. Orlando ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 4 \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(M^*) = 3 \neq 2$: sistema incompatible. Se ve también a mano: las dos primeras ecuaciones dan $y = 0$ y $x = 0$, y la tercera queda $2\cdot 0 = 1$.

c) Llamamos $D$ al determinante pedido. Sacamos el factor $2$ de la segunda fila y después el factor $2$ de la segunda columna:$$D = 2\begin{vmatrix} g - 5a & 2d & a \\ h - 5b & 2e & b \\ i - 5c & 2f & c \end{vmatrix} = 4\begin{vmatrix} g - 5a & d & a \\ h - 5b & e & b \\ i - 5c & f & c \end{vmatrix}$$Sumando a la primera columna la tercera multiplicada por $5$ el determinante no cambia:$$D = 4\begin{vmatrix} g & d & a \\ h & e & b \\ i & f & c \end{vmatrix}$$Este determinante es el de la traspuesta de $\begin{pmatrix} g & h & i \\ d & e & f \\ a & b & c \end{pmatrix}$, que vale lo mismo, y esa matriz se obtiene de la del dato intercambiando la primera y la tercera fila, lo que cambia el signo:$$\begin{vmatrix} g & d & a \\ h & e & b \\ i & f & c \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} g & h & i \\ d & e & f \\ a & b & c \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -(-2) = 2$$$$D = 4\cdot 2 = 8$$