Derivadas y aplicaciones

Simplificación del primer trozo. Para $x < 1$ es $x \neq 1$, y podemos simplificar:$$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$$Así,$$f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x < 1 \\ ax + b & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$Cada trozo es un polinomio, de modo que $f$ es continua y derivable en $(-\infty, 1)$ y en $(1, +\infty)$; solo hay que estudiar $x = 1$.

Continuidad en $x = 1$.$$f(1) = a + b$$$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \ \left(\tfrac{0}{0}\right) = \lim_{x \to 1^-} (x + 1) = 2$$$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (ax + b) = a + b$$$f$ es continua en $x = 1$ si y solo si$$a + b = 2$$Derivabilidad en $x = 1$. Suponiendo ya $a + b = 2$ (si no es continua, no puede ser derivable), calculamos las derivadas laterales por la definición:$$f'(1^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(2 + h) - 2}{h} = 1$$$$f'(1^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{a(1 + h) + b - (a + b)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{ah}{h} = a$$(Es lo mismo que derivar cada trozo, $f'(x) = 1$ si $x < 1$ y $f'(x) = a$ si $x > 1$, y tomar los límites laterales, lo que es válido porque $f$ es continua en $1$.)

$f$ es derivable en $x = 1$ si y solo si$$a = 1$$Sistema.$$\left\{\begin{array}{l} a + b = 2 \\ a = 1 \end{array}\right. \;\Longrightarrow\; a = 1, \quad b = 1$$Comprobación. Con $a = b = 1$, el segundo trozo es $x + 1$, igual que el primero simplificado: $f(x) = x + 1$ para todo $x \in \mathbb{R}$, una recta, que es continua y derivable en todas partes ($f(1) = 2$, $f'(1) = 1$). La discontinuidad evitable de $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ en $x = 1$ queda "rellenada" por el segundo trozo.