Matemáticas IIMedioProblema · 2 pts

Integrales

También trata: Límites y continuidad

Castilla-La Mancha · 2026 · Junio

Enunciado

a) (1 punto) Calcula justificadamente el siguiente límite:

\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x + 1}{2x - 3}\right)^{x}

b) (1 punto) Calcula justificadamente la siguiente integral:

\int e^{x}\cdot \operatorname{sen} x \, dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ \lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x + 1}{2x - 3}\right)^{x} = e^{2}\;}

\boxed{\;\text{b)}\ \int e^{x} \operatorname{sen} x \, dx = \frac{e^{x}(\operatorname{sen} x - \cos x)}{2} + C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) la base tiende a

1

(los dos polinomios tienen el mismo grado y el mismo coeficiente principal) y el exponente a

\infty

: es la indeterminación

1^\infty

. Se resuelve con la fórmula que la lleva al número

e

: si

f(x) \to 1

g(x) \to \infty

, entonces

\lim f^{g} = e^{\lim g\,(f - 1)}

.

En b) es la integral "cíclica" por partes por excelencia: ni la exponencial ni el seno se simplifican al derivar. Integramos por partes dos veces; tras la segunda vuelve a aparecer la integral de partida, y la despejamos como si fuera una incógnita en una ecuación.

Desarrollo

a) Tipo de indeterminación. Dividiendo entre

x

\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{2x - 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{3}{x}} = 1, \qquad \lim_{x \to \infty} x = \infty

Es una indeterminación

1^{\infty}

. Usamos

\lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)} = e^{\lim\limits_{x \to \infty} g(x)\,[f(x) - 1]}

Exponente.

\frac{2x + 1}{2x - 3} - 1 = \frac{2x + 1 - (2x - 3)}{2x - 3} = \frac{4}{2x - 3}

\lim_{x \to \infty} x\cdot\frac{4}{2x - 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x}{2x - 3} = \frac{4}{2} = 2

(cociente de polinomios del mismo grado: cociente de los coeficientes principales).

Resultado.

\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x + 1}{2x - 3}\right)^{x} = e^{2} \approx 7{,}39

Otra forma (llevándolo al número $e$ ). Escribiendo

\dfrac{2x + 1}{2x - 3} = 1 + \dfrac{4}{2x - 3} = 1 + \dfrac{1}{\frac{2x - 3}{4}}

\left(1 + \frac{1}{\frac{2x - 3}{4}}\right)^{x} = \left[\left(1 + \frac{1}{\frac{2x - 3}{4}}\right)^{\frac{2x - 3}{4}}\right]^{\frac{4x}{2x - 3}} \longrightarrow e^{2}

porque el corchete tiende a

e

y el exponente

\frac{4x}{2x - 3}

tiende a

2

.

b) Llamamos

I = \displaystyle\int e^{x} \operatorname{sen} x \, dx

.

Primera integración por partes. Tomamos

u = \operatorname{sen} x \;\Rightarrow\; du = \cos x \, dx, \qquad dv = e^{x}\,dx \;\Rightarrow\; v = e^{x}

I = e^{x} \operatorname{sen} x - \int e^{x} \cos x \, dx

Segunda integración por partes (con la misma elección: la trigonométrica como

u

y la exponencial como

dv

u = \cos x \;\Rightarrow\; du = -\operatorname{sen} x \, dx, \qquad dv = e^{x}\,dx \;\Rightarrow\; v = e^{x}

\int e^{x} \cos x \, dx = e^{x} \cos x - \int e^{x}(-\operatorname{sen} x)\,dx = e^{x} \cos x + I

Ecuación en $I$ . Sustituyendo en la primera:

I = e^{x} \operatorname{sen} x - \big(e^{x} \cos x + I\big) \;\Longrightarrow\; 2I = e^{x} \operatorname{sen} x - e^{x} \cos x

I = \frac{e^{x}\,(\operatorname{sen} x - \cos x)}{2} + C

La constante

C

se añade al final, una vez despejada

I

.

Comprobación (derivando el resultado):

\left[\frac{e^{x}(\operatorname{sen} x - \cos x)}{2}\right]' = \frac{e^{x}(\operatorname{sen} x - \cos x) + e^{x}(\cos x + \operatorname{sen} x)}{2} = \frac{2e^{x}\operatorname{sen} x}{2} = e^{x}\operatorname{sen} x

Consejo

En a), "justificadamente" pide decir que es una indeterminación $1^\infty$ antes de aplicar la fórmula. Decir que "la base tiende a 1 y $1^\infty = 1$ " es un error que anula el apartado.

En b), en la segunda integración por partes mantén la elección: la exponencial como $dv$ . Si cambias los papeles, llegas a $I = I$ y no sacas nada. Y no olvides la constante $C$ ni derivar para comprobar.