Matemáticas IIFácilProblema · 2 pts

Rectas y planos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Castilla-La Mancha · 2026 · Junio

Enunciado

En un parque público, se está instalando un sistema de vigilancia mediante sensores de movimiento a ambos lados de un muro recto. Dicho muro está representado por el plano de ecuación:

\pi \equiv x + y + z - 6 = 0.

Uno de los sensores está situado en el punto de coordenadas

P(1, 2, 6)

y se desea instalar un segundo sensor en el punto

P'

, simétrico del anterior respecto del plano

\pi

.

a) (1,25 puntos) Determina razonadamente las coordenadas del punto de instalación del segundo sensor,

P'

.

b) (0,75 puntos) Calcula la distancia entre los dos sensores.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ P' = (-1,\ 0,\ 4)\;}

\boxed{\;\text{b)}\ d(P, P') = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46 \ \text{u}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El simétrico de un punto respecto de un plano se halla siempre con el mismo esquema de tres pasos:

Trazamos la recta que pasa por $P$ y es perpendicular al plano: su vector director es el normal del plano.
La cortamos con el plano; el punto de corte $M$ es la proyección ortogonal de $P$ y, a la vez, el punto medio entre $P$ y $P'$ .
Despejamos $P'$ de la fórmula del punto medio: $P' = 2M - P$ .

En b) basta la distancia entre dos puntos. Como comprobación, debe salir el doble de la distancia de

P

al plano.

Desarrollo

a) Vector normal del plano. De

\pi \equiv x + y + z - 6 = 0

leemos

\vec{n} = (1, 1, 1)

.

Antes de nada,

P

no está en el plano:

1 + 2 + 6 - 6 = 3 \neq 0

(si estuviera, sería su propio simétrico).

Recta perpendicular a $\pi$ por $P$ . Con dirección

\vec{n}

r \equiv (x, y, z) = (1 + \lambda,\ 2 + \lambda,\ 6 + \lambda), \quad \lambda \in \mathbb{R}

Corte con el plano. Sustituimos en

\pi

(1 + \lambda) + (2 + \lambda) + (6 + \lambda) - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; 3 + 3\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -1

El pie de la perpendicular (proyección de

P

sobre

\pi

) es

M = (1 - 1,\ 2 - 1,\ 6 - 1) = (0,\ 1,\ 5)

Comprobamos que

M \in \pi

0 + 1 + 5 - 6 = 0

.

Simétrico.

M

es el punto medio del segmento

PP'

M = \frac{P + P'}{2} \;\Longrightarrow\; P' = 2M - P = (2\cdot 0 - 1,\ 2\cdot 1 - 2,\ 2\cdot 5 - 6) = (-1,\ 0,\ 4)

(Equivale a tomar

\lambda = 2\cdot(-1) = -2

en la recta

r

(1 - 2,\ 2 - 2,\ 6 - 2) = (-1, 0, 4)

.)

Comprobación:

\overrightarrow{PP'} = (-2, -2, -2) = -2\,\vec{n}

, perpendicular al plano, y

P'

queda al otro lado: al sustituir,

-1 + 0 + 4 - 6 = -3

, el opuesto del

3

que daba

P

. Los dos sensores están a ambos lados del muro y a la misma distancia de él.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Distancia entre los dos sensores:

d(P, P') = \left|\overrightarrow{PP'}\right| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46 \ \text{u}

Comprobación: la distancia de

P

al plano es

d(P, \pi) = \frac{|1 + 2 + 6 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}

y la distancia entre

P

y su simétrico debe ser el doble:

2\sqrt{3}

, como hemos obtenido.

Consejo

El fallo típico es quedarse en el punto de corte $M$ y darlo como simétrico: $M$ es solo el punto medio. Hay que dar un paso más, $P' = 2M - P$ .

"Razonadamente" significa explicar los pasos: recta perpendicular por $P$ , corte con el plano y punto medio. La comprobación $d(P, P') = 2\,d(P, \pi)$ es rápida y detecta casi cualquier error de cuentas.