Áreas, volúmenes y distancias

Producto mixto. Por la regla de Sarrus:$$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} 1 & -1 & a \\ 2 & a & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$$$= \big[1\cdot a\cdot(-1) + (-1)\cdot 1\cdot(-1) + a\cdot 2\cdot 1\big] - \big[a\cdot a\cdot(-1) + 1\cdot 1\cdot 1 + (-1)\cdot 2\cdot(-1)\big]$$$$= (-a + 1 + 2a) - (-a^2 + 1 + 2) = (a + 1) - (3 - a^2) = a^2 + a - 2$$Factorizando: $a^2 + a - 2 = (a - 1)(a + 2)$.

a) Tres vectores de $\mathbb{R}^3$ son coplanarios si y solo si son linealmente dependientes, y eso ocurre si y solo si su determinante (el producto mixto) es nulo. Geométricamente: el paralelepípedo que forman queda "aplastado" y su volumen es $0$.$$a^2 + a - 2 = 0 \iff (a - 1)(a + 2) = 0 \iff a = 1 \ \text{ o } \ a = -2$$Comprobación con $a = 1$: $\vec{u} = (1, -1, 1)$, $\vec{v} = (2, 1, 1)$, $\vec{w} = (-1, 1, -1)$; se ve que $\vec{w} = -\vec{u}$, así que los tres están en un mismo plano. Con $a = -2$: $\vec{u} = (1, -1, -2)$, $\vec{v} = (2, -2, 1)$ y $\vec{u} - 5\vec{w} = (1 + 5,\ -1 - 5,\ -2 + 5) = (6, -6, 3) = 3\vec{v}$, así que $\vec{v}$ es combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{w}$.

Para cualquier otro valor de $a$ el determinante no es nulo y los vectores son linealmente independientes (no coplanarios).

b) El volumen del paralelepípedo construido sobre $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ es$$V = \big|[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]\big| = \left|a^2 + a - 2\right|$$Imponemos $V = 10$, lo que da dos casos:

• $a^2 + a - 2 = 10 \;\Longrightarrow\; a^2 + a - 12 = 0 \;\Longrightarrow\; a = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \dfrac{-1 \pm 7}{2}$, es decir, $a = 3$ o $a = -4$.
• $a^2 + a - 2 = -10 \;\Longrightarrow\; a^2 + a + 8 = 0$, con discriminante $1 - 32 = -31 < 0$: sin soluciones reales.

Comprobación: $3^2 + 3 - 2 = 10$ y $(-4)^2 + (-4) - 2 = 10$. En los dos casos el volumen es $|10| = 10\ \text{u}^3$.

En la simulación, el origen es el punto $A$ y $B$, $C$ y $D$ son los extremos de $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$. Con $a = 3$ el paralelepípedo mide $10\ \text{u}^3$ y el tetraedro $ABCD$, la sexta parte, $\tfrac{10}{6} = \tfrac{5}{3}\ \text{u}^3$; el buscador da los dos valores de $a$. Cambiando el objetivo a "coplanarios" encuentra los de a).