Matemáticas IIFácilProblema · 2 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Límites y continuidad

Castilla-La Mancha · 2026 · Junio

Enunciado

Durante una campaña de promoción de productos de Castilla-La Mancha, una empresa dedicada a la venta de azafrán estima que el beneficio diario obtenido, expresado en cientos de euros, viene dado por la función:

B(x) = 80x\cdot e^{-0{,}5x}

Donde

x

representa el número de días transcurridos desde el inicio de la campaña.

a) (1,25 puntos) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función

B(x)

y determina el día en que el beneficio diario es máximo.

b) (0,75 puntos) A largo plazo, ¿tiende el beneficio diario a estabilizarse en algún valor? En caso afirmativo determina dicho valor e interprételo en el contexto del problema.

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ \text{Crece en } (0, 2),\ \text{decrece en } (2, +\infty);\ \text{máximo el día } x = 2:\ B(2) = \tfrac{160}{e} \approx 58{,}86 \text{ cientos de euros}\;}

\boxed{\;\text{b)}\ \lim_{x \to +\infty} B(x) = 0:\ \text{el beneficio diario tiende a } 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La función es el producto de una recta que crece (

80x

) por una exponencial que se apaga (

e^{-0{,}5x}

). Al principio manda el factor

80x

y el beneficio sube; con el paso de los días la exponencial gana y lo hace bajar. Por eso esperamos un máximo.

En a) derivamos con la regla del producto, sacamos factor común la exponencial y estudiamos el signo de

B'(x)

. Como

x

son días, el dominio con sentido es

x \geq 0

.

En b) "a largo plazo" significa

x \to +\infty

: calculamos ese límite, que es una indeterminación

\infty \cdot 0

que se resuelve con L'Hôpital (o comparando infinitos). Si el límite es un número, ese es el valor en el que se estabiliza el beneficio: una asíntota horizontal.

Desarrollo

Dominio.

B

es continua y derivable en todo

\mathbb{R}

, pero en el contexto

x

son días desde el inicio, así que trabajamos en

[0, +\infty)

.

a) Derivada, por la regla del producto y la de la cadena:

B'(x) = 80\cdot e^{-0{,}5x} + 80x\cdot(-0{,}5)\,e^{-0{,}5x} = 80\,e^{-0{,}5x}\,(1 - 0{,}5x) = 40\,e^{-0{,}5x}\,(2 - x)

Puntos críticos: como

e^{-0{,}5x} > 0

siempre,

B'(x) = 0 \iff 2 - x = 0 \iff x = 2

Signo de

B'

: el factor

40\,e^{-0{,}5x}

es positivo, así que el signo es el de

2 - x

Intervalo	$(0,\ 2)$	$x = 2$	$(2,\ +\infty)$
Signo de $2 - x$	$+$	$0$	$-$
$B(x)$	crece	máximo	decrece

(Como función en todo

\mathbb{R}

, crece en

(-\infty, 2)

y decrece en

(2, +\infty)

; en el contexto nos quedamos con

x \geq 0

.)

Por tanto,

B

es creciente en $(0, 2)$ y decreciente en $(2, +\infty)$ , y tiene un máximo en $x = 2$ , que además es absoluto en

[0, +\infty)

: antes de él la función solo sube y después solo baja. El beneficio máximo es

B(2) = 80\cdot 2\cdot e^{-1} = \frac{160}{e} \approx 58{,}86 \ \text{cientos de euros} \approx 5886 \ \text{euros}

El beneficio diario es máximo el día 2 de la campaña.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Calculamos el límite cuando

x \to +\infty

. Es del tipo

\infty\cdot 0

; lo escribimos como cociente para tener

\dfrac{\infty}{\infty}

y aplicar L'Hôpital:

\lim_{x \to +\infty} 80x\,e^{-0{,}5x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{80x}{e^{0{,}5x}} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{80}{0{,}5\,e^{0{,}5x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{160}{e^{0{,}5x}} = 0

(Es lo esperable: la exponencial crece mucho más deprisa que cualquier polinomio.)

Así que sí, el beneficio diario se estabiliza: la recta

y = 0

es una asíntota horizontal de

B

hacia

+\infty

.

Interpretación. Con el paso de los días, el beneficio diario de la campaña se va acercando a

0

euros: el efecto de la promoción se agota y, a largo plazo, deja de aportar beneficio. Como

B(x) > 0

para todo

x > 0

, se acerca a cero por encima: nunca llega a dar pérdidas, pero cada día gana menos (por ejemplo,

B(10) \approx 5{,}39

, unos

539

euros, y

B(30) \approx 0{,}001

Consejo

Al derivar, saca factor común la exponencial: $B'(x) = 40\,e^{-0{,}5x}(2 - x)$ . Así se ve de un vistazo que el signo solo depende de $2 - x$ , porque $e^{-0{,}5x}$ nunca se anula ni es negativa.

En b) no basta con escribir " $\infty\cdot 0 = 0$ ": hay que resolver la indeterminación (L'Hôpital o comparación de infinitos) y, como pide el enunciado, interpretar el valor en el contexto.